[問題] 指數分布參數的假設檢定
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06/15 10:24,
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之前別人問Cauchy分布的參數估計問題，
我的問題再重新念了GLRT後有些看法。
X1,X2,...,Xn iid~ Exp(β)
MLE of β=X-bar
H0:β=β_0 v.s. Ha:β≠β_0 之LRT的拒絕域：
L(β_0)/L(x-bar)
=[(β_0/x-bar)^-n]exp(-Σx_i/β_0 + Σx_i/x-bar) <= k
=> [(x-bar/β_0)^n]exp(-n*x-bar/β_0 + n) <= k
=> [(x-bar/β_0)^n]exp(-n*x-bar/β_0) <= k*exp(-n)=k'
令w=x-bar/β_0
=> (w^n)exp(-nw) <= k'
在此將(w^n)exp(-nw)視為Gamma(α=n+1, β=1/n)的pdf的核心
也就是說，fw(w)=(w^n)exp(-nw)/k'
=> w=x-bar/β_0 <= c1 or w=x-bar/β_0 >= c2
當w<= c1 或 >=c2時，fw(w)<k'
因為Σx_i ~ Gamma(α=n, β)
在虛無假設成立之下，
2Σx_i/β_0 = 2nX-bar/β_0 ~ Gamma(α=2n/2,2) ~ Chi-square(υ=2n)
所以LRT的拒絕域為：
{2nX-bar/β_0 <=Chi-square_1-α/2 (2n), 2nX-bar/β_0 >=Chi-square_α/2 (2n)}
但是在自由度趨近無限大的情況下，
當X~Chi-square(k)
則(X-k)/√(2k) ~ N(0,1)
所以能否將LRT的拒絕域改成下式呢？
{[(2nX-bar/β_0)-2n]/√(2k) <=Z_1-α/2, [(2nX-bar/β_0)-2n]/√(2k) >=Z_α/2},
當2n -> ∞
此時應該也能用t檢定吧？
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 111.255.24.236
※ 編輯: anovachen 來自: 111.255.24.236 (07/14 01:52)
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07/14 13:14, , 6F
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不過這樣做檢定的樞紐量變成[(2nX-bar/β_0)-2n]/√(2k)，
不是X-bar。(跟原本想的不同)
另外，有很多常用機率分配的MLE都跟X-bar有關，
這些不知道能否仿照類似方法推導樣本數趨近無限大時的檢定方式？
※ 編輯: anovachen 來自: 111.255.28.193 (07/15 10:06)