Re: [問題] 100年高考統計一題
※ 引述《Jrxz (Write Me Off)》之銘言：
: ※ 引述《Jrxz (Write Me Off)》之銘言：
: : 考選部題目網址
: : http://wwwc.moex.gov.tw/ExamQuesFiles/Question/100/100120_31880.pdf
: 順便請教同份考卷的第三題
: 三、令 Y1,Y2,...,Yn 為具獨立同分布、期望值1/λ的指數（exponential）隨機
: 變數，試求λ的最大概似估計（Maximum Likelihood Estimate），並驗證其
: 是否具不偏性（unbiasedness）與一致性（consistency）
: 這題的指數分配是 f(y)=λexp{-λy} 的形式
: 算出來 MLE 估計式是 1/y_bar
: 應該不具不偏性的吧?
: 另外想請教一致性該怎麼證明
: 1/y_bar 的期望值跟變異數好像不是很簡單就可以算出來的
: 我的證法 先令β=1/λ 根據 MLE 不動性 β的 MLE 估計式是 y_bar
: E[β^]=β , Var(β^)=β^2/n 所以 n趨近無窮大時 Var(β^)趨近於0
: β具一致性 又β=1/λ 所以λ也具一致性
: 想請教MLE估計式是否有這樣的定理可以使用?
: 一時之間想不出其他證明方法 硬著頭皮猜有這樣的定理可以使用
我是這樣解的
E(1/y_bar)=E(n/sum_y)=nE(1/sum_y)
V(1/y_bar)=V(n/sum_y)=n^2V(1/sum_y)=n^2[E(1/sum_y)^2-(E(1/sum_y))^2]
因為Y~exp(λ) 所以sum(y)~gamma(n,λ)
接著就用gamma分布去求E(1/sum_y),E(1/sum_y)^2,進而求的V(1/y_bar)
中間需要用到一些gamma的小技巧,
期望值和變異數自然可以解出。
若有錯請高手指教
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