Re: [問題] 關於條件機率
※ 引述《kshsjimmy (Jimmy)》之銘言：
: 題目如下
: Let (X,Y) be a bivariate random vector with probability density function
: f(x,y)=1/π,if x^2+y^2≦1.Let Z=X+Y
: (a)Find the probability density function of Z.
: (b)Find the conditional probability density function of X given Z=z.
: (c)Obtain E(X|Z=z).
: (d)Obtain E(Z|X=x).
: 這是我修的機率專題老師出的習題
: 但我已經想了很久都想不出來
: 且下周就要考期末考了
: 實在是很擔心
: 希望有人可以解答得出來
: 在下周一前解出一小題的
: 我將會贈送250p以茲感謝
這題我目前很難以基本或是一般的機率求法來得出答案
也許有人有更快更容易了解的解法，歡迎不吝吝分享
我目前是用幾何去切入
a)
f(x,y)已知是個常數，且在以(0,0)為為圓心，半徑為一的圓內才有不為零的機率值
我們可以先檢驗f(x,y)是否符合pdf的性質:
pdf * area of circle: (1/π)*π(1^2) = 1
所以符合
再來是Z=X+Y與這個圓面積的關係
Y
|
圓 -|-
\ / | \
--\-------------- X
\ \-|-/
\ |
\ |
Z=X+Y (e.g., Z = -100)
所以當Z沒有與圓相交，Z的pdf是零。
而我們要做的就是在什麼時候，Z會與圓相交
由於Z=X+Y斜率為-1，所以可以簡單算出在
(-1/sqrt(2), -1/sqrt(2)) 此時Z=sqrt(-2)
(1/sqrt(2), 1/sqrt(2)) 此時Z=sqrt(2)
(sqrt(2)代表根號2)
分別與圓相切於一點，所對應的pdf值就是1/π(i.e., f(x,y))
到這邊我的想法就是對不同的Z值所對應的pdf值就是求出在圓內的線段長
Z的pdf的意義就具體多了，接下來就是求法了
求法很多種，我是利用X=Y與Z=X+Y垂直的性質，並此兩線段的交點在欲求線段的中點
故
Z = 2X => X= Z/2
X=Y與X軸夾腳為45度 => 從圓點到Z=X+Y的距離為Z/sqrt(2)
而線段長就是2*sqrt(1-Z^2/2)
因為f(z)的積分必須為一，所以積分範圍(-sqrt(2), sqrt(2))
2*sqrt(1-Z^2/2)*dz/sqrt(2)
=> f(z) = sqrt(2-z^2)
b)
Given Z =z意味著Z=X+Y是一條線，在線上的x值都會有非零的機率值，
所以我們要求到底有多少的x值在線上，利用
X^2+Y^2 = 1
X + Y = z
X = (1/2)(z +- sqrt(2-z^2))
把兩個解相減取絕對值 = > sqrt(2-z^2)
f(x|Z=z) = 1/sqrt(2-z^2)
c)d)
如果可以解出a)b)，這兩題就不是大問題了
有錯請不吝指教
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