Re: [問題] weak law of largenumbers題目求解!急
你只要從例子show Xn -> o in pr 成立 可是(Sn/n) -> 0 不成立就好..
Xn -> 0 in pr 很明顯...lim P(|Xn|>0)= 1/n -->0
要證明Sn/n--> 0 不成立..我只想到這樣..不知道對不對..還是有更好的方法..
就請其他高手幫忙看了....
ΣP(|Xn|>n) = Σ 1/n (發散) ==> P(|Xn|>n i.o)=1 (BC lemma, P(Xn=2^n > n)=1/n )
|Sn-Sn-1| = |Xn| > n ==>|Sn|>n/2 or |Sn-1|>n/2
P(|Sn| > n/2 i.o ) = 1 <==> P(|Sn|/n > 1/2 i.o ) = 1
所以這邊可以說 Sn/n -\-> 0 a.e imply Sn/n -\-> 0 in pr.
※ 引述《nina888 (= =)》之銘言：
: 標題: [問題] weak law of largenumbers題目求解!急
: 時間: Tue Dec 28 13:01:22 2010
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: 如題，
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: 這一題怎麼想都想不到例子…
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: 高手幫幫忙!!
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: 章節：Weak Law of Largenumbers
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: Ex:
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: Sn=Σ Xj (asj=1 to n)
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: Given an example for a sequence of independent r.v.'s {Xn},
: Xn -> o in pr. But (Sn/n) -> c >0
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: HINT: Let Xn take the values 2^n and 0 with probabilities 1/n and 1-(1/n ) .
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: 此題是機率論教授Kai Lai Chung的書 A course in probability theory(p113)
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: 看了課本後自覺還是有些不懂，請高手幫幫忙，幫我解這一題，謝謝!
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: ◆ From: 118.167.19.88
: → yhliu:依提示去做即是. 此題關鍵是證明 Sn/n -> c > 0. 12/28 16:14
: → yhliu:覺得 hint 的 Xn 分布取得怪怪的. 那樣的 Sn/n 似乎不會收斂 12/28 16:44
: → yhliu:若取 P[Xn=n^a] = 1/n^a = P[Xn=0], 0<a<1, 則 Xn -> 0 in p 12/28 16:48
: → yhliu:且 Sn/n -> 1 in pr. 12/28 16:48
: → nina888:請問為何這樣取時，Xn -> 0 in pr ? 12/28 18:41
: → yhliu:For any e>0, for n large, P[|Xn|>e] = 1/n^a --> 0 12/28 20:55
: → nina888:再請問一下你指的a是什麼? 為何a限定在01之間?有何根據嗎? 12/28 22:01
: → nina888:1/n^a = P[Xn=0] 又是為何呢? for a large ???thank you:> 12/28 22:02
: → ADORIAN:P[Xn=0], w.p. 1-1/n^a 是筆誤嗎? 12/28 22:10
: → ADORIAN:a >= 1 用來判斷 Sn/n -> 1 的準則會失效, 是嗎? 12/28 22:14
: → ADORIAN:我翻一翻書, 我的是 Kai Lai Chung 第三版, Thm 5.2.3 12/28 22:25
: → ADORIAN:當 a >=1 時無法判定 Sn/n -> 1 12/28 22:26
: → nina888:若取 P[Xn=n^a] = 1/n^a, 1-1/n^a = P[Xn=0], 0<a<1 12/28 22:30
: → nina888:ADO大，請問你的意思是這樣子嗎? 另外請問 w.p.是什麼= = 12/28 22:31
: → ADORIAN:是的.不好意思,我用 w.p. 當成 with probability 的縮寫. 12/28 22:37
: → nina888:但為何要如此取 P[Xn=n^a] ?那 P[Xn=2^n]不行嗎? 12/28 22:41
: → ADORIAN:你的意思是依書給的hint嗎? 可以啊, 比較難證明Sn/n -> c 12/28 22:46
: → ADORIAN:我也認為 Sn/n 不會收斂... 12/28 22:48
: → nina888: P[Xn=n^a]該如何解釋呢?這個機率值又如何得知? 12/28 22:59
: → dos792:這樣沒解釋到iid 12/28 23:00
: → ADORIAN:有機率值, y大給了 P[Xn=n^a], w.p. 1/n^a 12/28 23:14
: → ADORIAN:iid ?? 12/28 23:15
: 推 LITTLEN:書上只要你證明Sn/n 不會 --> 0 in pr...你會不會看錯了 12/29 00:58
: → nina888:不會->0 in pr.意思跟->c in pr .c is constant意思不同? 12/29 09:37
: → ADORIAN:Sn/n -/-> 0 in pr 比較廣, 技術上來說比較容易 12/29 10:41
: → ADORIAN:若只是 Sn/n -/-> 0 in pr. 利用 Borell-Cantelli lemmma 12/29 10:42
: → yhliu:P[Xn=n^a] = 1/n^a = 1-P[Xn=0] (先前手誤, 抱歉!) 12/29 11:11
: → yhliu:又, 原題只有 "independent", 不是 "i.i.d." 的 case. 12/29 11:11
: → yhliu:a>=1 的話, Sn/n 應會發散; 原 hint 的設定也是. 當然如果 c 12/29 11:13
: → yhliu:包含正無窮的話, 那就沒問題. 不過, 證明發散的 case 可能不 12/29 11:14
: → yhliu:比我所舉的收斂的例子簡單? 12/29 11:15
: → LITTLEN:hint的意思就只是Sn/n 不會 --> 0 in pr..沒違反題意阿 12/29 11:46
: → LITTLEN:c --> infinity 是他hint舉的例子...你可以不要用而已=.= 12/29 11:47
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◆ From: 160.39.4.106
※ 編輯: LITTLEN 來自: 160.39.4.106 (12/29 14:37)
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