Re: [問題] Stochastic Dominance
很抱歉. 當這個積分的 support 不是 finite 時 分部積分會掛掉
我嘗試了一下証出來了
Sketch of the proof :
1. It suffices for us to prove that Y comletely dominates X implies
E(X) <= E(Y), provided the expectations exist.
+ - + -
2. Let X＝X －X , Y＝Y －Y
Find out the complete dominance relationship between
+ + - -
X , Y and X , Y
3. Use the following formula:
for a nonnegative random variable (assumed continuous) X.
∞
E(X)＝∫ [1-F (t)]dt
0 X
※ 引述《Rubyfish (過去的已不再重要)》之銘言：
: 你先把 E[m(X)] 用積分的形式寫出來
: 然後再表示成分部積分的樣子
: 相同的做法對於 E[m(Y)] 也是
: 然後 E[m(X)] - E[m(Y)]
: 你會發現分部積分的前面那項 兩者是相同的!!
: 於是就比較後面那項
: 你就會得到 積分 m'(t) (Fy - Fx) dt
: 因為 P(X≦c) ≧ P(Y≦c)
: 所以 (Fy - Fx) <= 0
: 所以 積分 m'(t) (Fy - Fx) dt <= 0
: E[m(X)] - E[m(y)] <= 0
: ※ 引述《b218h (Gordon Mercer)》之銘言：
: : Let X,Y be two random variables with the following properties:
: : For all c in |R,
: : P(X≦c) ≧ P(Y≦c)
: : Let m(‧) be a monotone increasing function. Show that
: : E[m(X)]≦E[m(Y)]
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