Re: [問題] 另外一題信賴區間,煩請高手幫我檢視答긠…
※ 引述《jianbanglin (一個人~我會努力的~)》之銘言：
: 題目為:
: Xi i.i.d. U(0,θ) , 0<x<θ , i = 1,2,3,4
: Construct a 95% confidence interval for θ.
: 以下是我解答
: ∵Xi i.i.d. U(0,θ)
: ∴Xi/θ i.i.d. U(0,1)
: 令Y4 = Max(X1,X2,X3,X4)
: Y4
: 令Q = ---- 服從 Beta(4,1) , 其分配與參數θ無關 , 為pivotal quantity
: θ
: Y4
: 0.95 = P( a <= Q <= b ) = P( a <= ---- <= b )
: θ
: Y4 Y4
: = P( ---- <= θ <= ---- )
: b a
: b
: 其中a,b滿足∫f(t)dt = 0.95 , 其中的f(t)為Beta(4,1)之p.d.f.
: a
: b b |b
: ==> ∫f(t)dt = ∫ 4t^3 dt = t^4 | = b^4 - a^4 = 0.95
: a a |a
: Y4 Y4
: 則 95% C.I. for θ 為 ( ---- , ---- ) , 其中b^4 - a^4 = 0.95
: b a
: 因為題目沒有要求最短區間,是不是算到以上即可?這是我第一個問題
:
: 若是要算最短區間長的時候
: 令 b = b(a) 為a的函數 , 區間長度 L = Y4 (1/a-1/b)
: -1 1 db
: 將L對a微分 , 令其值為 0 ==> Y4 ( ----- + -----。---- ) = 0
: a^2 b^2 da
: -1 1 db
: ==> ----- + -----。---- = 0
: a^2 b^2 da
: db b^2
: ==> ---- = ----- －－－ (一)
: da a^2
: 再將 b^4 - a^4 = 0.95 , 也對a微分
: db
: ==> 4b^3 ---- - 4a^3 = 0
: da
: db a^3
: ==> ---- = ----- －－－ (二)
: da b^3
第一個問題是對的
第二個問題是解題步驟有問題
在第一式求出後
b db
應該先對此限制式微分 ∫f(t)dt = 0.95 ,即 f(b)---- - f(a) = 0
a da
db a^3 1 1
得 ---- = ---- , 再令 L(a) = --- - --- 對 L(a) 微分a
da b^3 a b ,
-1 1 db a^3 -b^3
則 --- + --- ---- = ---------- < 0 (a<b)
a^2 b^2 da a^2 b^5
故 L(a)為a之遞減函數, 滿足 L(a)越小, a越大 --> b越大， 所以b=1
再將 b=1 帶回限制式
1
即 ∫f(t)dt = 0.95 求得a即可
a
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