Re: [問題] 數理統計的問題
※ 引述《WANG3213 (WANG3213)》之銘言：
: ※ 引述《taldy ()》之銘言：
: : U1,U2,...~iid U(0,1)
: : 設N為一個隨機變數,其值為0,1,2...
: : n n+1
: : 定義N=n iff Π Ui >_ e^(-λ) > Π Ui
: : i=1 i=1
: : 求N的分佈
把過程寫完整好了........
n n+1
P(N=n) = P(Π Ui ≧ e^(-λ) ＞ Π Ui) By 題目的定義
i=1 i=1
n n+1
= P(Σ -log(Ui) ≦ λ ＜ Σ -log(Ui)) By part a
i=1 i=1
n n+1
= P(Σ Xi ≦ λ ＜ Σ Xi) Xi iid follow exp(1) for i=1~n+1
i=1 i=1
n
= P( Gn ≦ λ ＜ Gn + Xn+1) Gn = Σ Xi ~ gamma(n,1)
i=1
= P( Gn ≦ λ and Gn + Xn+1 ＞ λ)
注意到 Gn 與 Xn+1 仍然獨立， 接下來你可以用圖解 Gn 與 Xn+1
的範圍或條件機率的方式把答案求出來。
方法一：
原式 = P( Gn ≦ λ) - P( Gn + Xn+1 ≦ λ) 注意到 Gn + Xn+1 ~ gamma(n+1,1)
λ 1 n-1 -x λ 1 n -x
= ∫ ----- x e dx - ∫ ------- x e dx 使用分部積分
0 Γ(n) 0 Γ(n+1)
1 n -λ 1 n -λ
= ------- λ e = --- λ e
Γ(n+1) n!
方法二：
λ
原式 = ∫ P( Gn = y and Gn + Xn+1 ＞ λ) dy
0
λ
= ∫ P( Gn + Xn+1 ＞ λ | Gn = y ) P( Gn = y )dy
0
λ
= ∫ P( Xn+1 ＞ λ- y | Gn = y ) P( Gn = y )dy
0
λ
= ∫ P( Xn+1 ＞ λ - y) P( Gn = y )dy
0
λ -(λ-y) 1 n-1 -y
= ∫ e ----- y e dy
0 Γ(n)
λ 1 n-1 -λ
= ∫ ----- y e dy
0 Γ(n)
1 n -λ λ
= ------- y e |
n*Γ(n) 0
1 n -λ 1 n -λ
= ------- λ e = --- λ e 以上好像沒啥好說的
Γ(n+1) n!
-λ
還有， N=0 時， P( G0 ≦ λ) = 1，要另外算，得 P(N=0) = e
所以 N ~ Poisson(λ)
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