Re: [問題] 波瓦松和複二項分配
※ 引述《smallcanary (我要成為經濟王)》之銘言：
: If X1,X2,...Xn are independent RVs with Xi~Poisson(λi), i=1,2...n
: the conditional distribution of X1,X2,...Xn,
: given Σ(Xi)=t,is multinomial with parameters t,λ1/Σλi,λ2/Σλi,...
: 我只知道這是關於Poisson和multinomial的轉換，
: 可是不知道要從哪裡下手證明，
: 拜託板上的大家了。
P{X1=x1,X2=x2,....,Xn=xn | ΣXi = t}
=P{X1=x1,X2=x2,....,Xn=xn,ΣXi = t}/P{ΣXi = t}
=P{X1=x1,X2=x2,....,X_n-1=x_n-1,Xn=t-x1-x2-...-(x_n-1)}/P{ΣXi = t}
=P{X1=x1}*P{X2=x2}*....*P{Xn=t-x1-x2-...-(x_n-1)}/P{ΣXi = t}
n n
其中Σ Xi ~ Poisson(Σλi)
i=1 i=1
整理後得
t! n λi
-----------------------------------------------*Π (-------)^(xi)
(x1!)*(x2!)*...*(x_n-1)!*(t-x1-x2-...-(x_n-1))! i=1 Σλj
λi
再由 ------- 與 Xi 的範圍得知為一 Multinomial distribution
Σλj
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