Re: [心得] 台大物理系數學筆試試題
自宅警備員每天發廢文，在一片算命中寫一下滿有趣的第 3 題 ˊOwOˋ
不過有可能是錯的，畢竟沒有看到解答，請觀者抱持懷疑的態度。
: 3.在空間座標中 座標(x,y,z)同時滿足x^2+y^2-z<0和x+y+z<3
: (1)求交集區域體積
: (2)求交集區域中x+y-z之最大值和最小值
第(1)小題
0.
假設我是正確的，這一題只需要幼幼班等級的導函數基本知識，
就是 y=x^2 繞 y 軸轉一圈的體積這一種，
而它的體積是 pi*(y^2/2)，算到這裡微積分的部份就結束惹。
1.x^2+y^2-z<0
x^2 + y^2 = z 的三維直角座標系圖型就是一個拋物線繞 z 軸的旋轉體。
大概長這樣：
http://jiang-yansheng.hxwk.org/files/2012/05/Iron.jpg
（懶的改圖，座標系腦補一下）
2.x+y+z<3
毫無反應，就是 x+y+z=3 這個平面以下的部分。
3.x^2+y^2-z<0 與 x+y+z<3 的交集
如果 x^2+y^2-z<0 長的像一根蘿蔔，它與 x+y+z=3 的交集就是一刀斜劈下去之後，
下面那一半的體積。
為簡化計算，以 x = y 為參考平面。
參考平面大概如右： http://imgur.com/tfVbgSq
正對著參考平面看過去，所看見的 x^2+y^2-z<0 與 x+y+z<3：
http://imgur.com/4fkcafX
其中拋物線為 x^2+y^2-z = 0 ，直線為 x+y+z = 3，而著色的部份則是範圍。
設參考平面橫軸數值為 w，
則拋物線在參考平面上的方程式為 z = w^2
直線則是 (根號2)*w + z = 3 （因為x+y+z=3與z軸及w軸的交點分別是3跟3/(根號2)）
到目前為止還算簡單，但所求部分之體積是本題最不直觀的部分。
省略繁雜步驟直接說明結果，
它的體積就是 http://imgur.com/4fkcafX
此圖中的直線與拋物線相減，
所形成之開口向下的拋物線 http://imgur.com/uxqcQaW
沿其對稱線旋轉的旋轉體在 z > 0 部分的體積
利的方程式計算出此拋物線的最高點為 3.5 ，因此套入最初的式子，
旋轉體之體積為 (pi*(3.5)^2)/2 = 6.125 pi (ans)
關於這點解釋要花很多時間，以下題示：
嘗試想像將 http://imgur.com/4fkcafX
圖中交集部分延著 w 軸縱切片
切面的形狀均是一個由開口向上拋物線和水平線所圍成的面積，
且每個切面的面積只與它的高度有關，與拋物線旋轉體一致。
第(2)小題
這題簡單很多。
x+y-z 有極大值或極小值時 x = y，
所以這張圖 http://imgur.com/4fkcafX
又有殘餘利用價值了，極大極小都在上面
圖中的 w 軸是 x 及 y 組成，
其中 w^2 = x^2 + y^2，且 w 的正負號與 x 及 y 相同，因此 x + y = (根號2)*w
得
x + y - z = (根號2)*w - w^2
極大值：在 w = (根號2)/2 處，x + y - z = 0.5
極小值：最左邊的那個點，要用直線和拋物線的交點去求，不過有點麻煩
計算機算出來是 -10.3045。
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