Re: [問題] 一題資優數學
※ 引述《licha (我要玩踩地雷)》之銘言：
: M
: ──── = x+y+z 為最簡分數
: sqrt(n)
: 其中 x = sqrt(y^2-1/16) + sqrt(z^2-1/16) ---1式
: y = sqrt(x^2-1/25) + sqrt(z^2-1/25) ---2式
: z = sqrt(x^2-1/36) + sqrt(y^2-1/36) ---3式
: 試找出 M, n
x , y , z 必都大於零
1式
x^2 + y^2 - 1/16 - 2xsqrt( y^2 - 1/16 ) = z^2 - 1/16
( x^2 + y^2 - z^2 )^2 = 4x^2( y^2 - 1/16 )
2式
y^2 + x^2 - 1/25 - 2ysqrt( x^2 - 1/25 ) = z^2 - 1/25
( y^2 + x^2 - z^2 )^2 = 4y^2( x^2 - 1/25 )
結論
4x^2( y^2 - 1/16 ) = 4y^2( x^2 - 1/25) => 25x^2 = 16y^2
2式
y^2 + z^2 - 1/25 - 2ysqrt( z^2 - 1/25 ) = x^2 - 1/25
( y^2 + z^2 - x^2 )^2 = 4y^2( z^2 - 1/25 )
3式
z^2 + y^2 - 1/36 - 2zsqrt( y^2 - 1/36 ) = x^2 - 1/36
( z^2 + y^2 - x^2 )^2 = 4z^2( y^2 - 1/36 )
結論
4y^2( z^2 - 1/25 ) = 4z^2( y^2 - 1/36 ) => 36y^2 = 25z^2
故 x^2 : y^2 : z^2 = 16 : 25 : 36
令 x^2 , y^2 , z^2 分別為 16k , 25k , 36k 隨便代入一個剛剛算過的式子裡
如 : ( x^2 + y^2 - z^2 )^2 = 4x^2( y^2 - 1/16 ) =>
25k^2 = 64k ( 25k - 1/16 ) => 25 * 63 * k^2 = 4k => k = 4 / ( 25 * 63 )
故 x + y + z = 15sqrt(k) = 15 * 2 / 5 / 3 / sqrt(7) = 2 / sqrt(7)
算的糊里糊塗不知道有沒有算錯
麻煩幫忙看一下
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◆ From: 114.43.161.23
推
07/30 01:20, , 1F
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