Re: [問題] 關於creator和annihilator

看板Physics作者 (會喵喵叫的大叔)時間8年前 (2017/08/28 00:23), 8年前編輯推噓9(9推 0噓 63→)
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: 因為 S 的書上是說要推廣這個做法，所以在推廣的過程中， : : ket space 就會很自然地變大成 V⊙V⊙V⊙... 這種感覺的東西。 : : 最後寫成 ⊙_{y \in space} (V⊙V⊙V)←寫三個是因為是三維空間。 從這句開始大有問題。 我不知道那三個V是怎麼來的，我傾向於你讀錯了。 總之那是場住的地方，跟 D 維時空完全無關，也不會是粒子的位置。 首先，場論的 dynamical degrees of freedom 不是單一粒子的位置、動量。 既然 S 直接把東西擺在格點上，我們就來講格點。 假設一維空間就好，所以位置以一個整數 x 來表示，然後粒子是spinless bosons。 你學過的量子力學問的是：這顆粒子在哪裡？ 如果系統裡有一顆粒子，你就有一組 x, p 如果系統裡有兩顆粒子，你需要兩組 (x1, p1), (x2, p2) 如果系統裡有 N 顆粒子，那你需要 N 組算符。 然後這些狀況都完全互相獨立。 例如說兩顆粒子的算符就只能作用在兩顆粒子的量子態上面。 如果你有個量子態來自只有一組 (x, p) 的Hilbert space， 那(x1, p1)和(x2, p2)根本不能作用在上面。 場論問的是：有多少顆粒子在位置 x 上面？ 所以每個格點 x 上都要有一組算符。 \phi(x) 粗略來說表示 x 上面有幾顆粒子。 嚴格來說是在 x 點找到粒子的機率幅 \pi(x) 是 \phi(x) 的conjugate momentum。但它不是粒子的動量。 就算你的系統是真空什麼都沒有，你也必須要有跟格點數一樣多的算符。 但是不管你的系統裡有幾顆粒子，你永遠只需要同樣的算符。 然後，creation and annihilation operators仍然是 \phi +- i\pi 的形式。 但你的dynamical variables是每一個格點上的機率幅，不是粒子的位置。 話說回來，你應該至少看過聲子了吧？ 這麼比喻：場論的dynamical variables是底下的原子，但是要描述的是聲子。 底下原子的位移和動量在phonon state裡面完全被遮起來了，大概就這種感覺。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 1.169.73.140 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Physics/M.1503851020.A.3F1.html
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它跟粒子的動量完全無關 那pi(x)是什麼?
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不算廣義動量?
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那我改說不是粒子動量就好。 其實你想一下聲子就好，聲子動量全看波長， 好像也沒在管底下的原子動量多少的。 ※ 編輯: wohtp (1.169.73.140), 08/28/2017 00:42:13
推
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感謝，不過容我先解釋一下第一段那三個 V。
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|ψ> = ∫ψ(x,y,z)|x,y,z>dxdydz 是一個三維空間的波函數
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∫ψ(x,y,z) |x>⊙|y>⊙|z> dxdydz
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那三個一維空間的狀態空間 V (state space, not phase
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推
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我大概懂你的大V是什麼，但你應該理解錯了，你自己google
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Fock space
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space) 就是這樣 tensor 出了三維空間上的狀態空間。
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就講了現在的變數不是位置啊……
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推
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Fock space 的建構看起來是 graded module 的想法。
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推
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而且你還在用波函數，你還是停留在單粒子的詮釋，你知道為
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何要用場來描述嗎？
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a:R^3→[某個 operator space] 所以他才被稱為 operator
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field，至少這個理解是對的吧？
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然後我以為那個[某個 operator space]就是 Hom(V,V)。
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是這裡錯了嗎？
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然後我以為那個[某個 operator space]就是 Hom(V^3,V^3)。
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那個 V^3 是 tensor 三次。
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是的，就是Hom(V^3,V^3)那裡錯了。
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我比較習慣用classical field和path integral來想。
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你說的應該相當於classical field的range是整個空間
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就是說你以為的\phi: R^3 --> R^3
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事實上右邊\phi的range可以是風馬牛不相及的任意空間
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推
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咦!? classical vector field 確實是R^3→R^3這樣的函數吧
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例如風速場什麼的。
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只是左邊的R^3是空間，而右邊的R^3是速度的空間。
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啊，我好像找到哪裡不對了，應該要打到整個 Hilbert space
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的 Hom 才對。所以我才在考慮怎麼建構那個 Hilbert space.
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考慮的結果就是空間中每一點的坐標當成 index，每一點都
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assign 一個 V^3 給他，然後全部 tensor 起來。
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看起來能有錯誤的地方應該是 index 的選擇吧？
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推
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你的場算符作用，會多跑出一顆粒子，維數會加一，如果你要
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求你的space在場算符作用下是封閉的，那你空間要無窮維
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推
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這是用無窮多個V^3來tensor的理由之一。x們隨時都standby
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著。
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位置空在那兒，只要在他那個factor上create一下就是一顆粒
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子。
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可是不一定要是向量場啊，事實上向量場很麻煩的，現在入門
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階段你看到的例子應該只是純量。
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你自己也說啦，就算是R^3 --> R^3，兩個R^3還是不一樣的
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那個用空間當index的想法應該對了
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直覺像position和occupied的概念 像是transition類類
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一種把paticle numbers當成state的概念
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推
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一種把真空階激發到有一個粒子的粒子態
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或者一個粒子回到真空階放射出一些東西
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一般來說都是成對的如電子和正子
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不好意思我是用了躍遷方式來解釋產生和湮滅
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樓上這個比喻不太符合。
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creation/annihilation operator沒在管不變量的
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跟pair creation是物理上可以有的process不一樣
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然後V兄你不如放棄你的V^3吧。它真的不是實空間。
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推
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感謝，我拿Fock space比對，好像找到我想要的fiber了。
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在網路上找到一篇文章，現在工作之餘就看看那篇，晚幾天
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應該可以正式報告一下心得，可能到時候麻煩大大再幫忙針砭
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一下XD 然後是我前面提到說找到的fiber：每一點要關聯一
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個Hilbert space(以前我大概是一直被這句綁住……只想到
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認識的Hilbert space就是single particle state space...)
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，而那個Hilbert space就是 C|0>⊕C|x>⊕C|x>^2⊕...
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當然這兒的次方是tensor product，然後Fock space是這一堆
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Hilbert space乘起來以後的symmetric/anti-symmetric sub-
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space。Fock space的解讀確實是直觀的，但似乎也不夠代表
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所有的QFT都會這麼「乖」，所以書中遲遲無法將Hilbert
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space的長相寫下……(還沒讀完，不過目前大概理解到這樣)
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09/03 15:50, , 65F
你還是沒有轉過來啊。
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09/03 15:52, , 66F
本來是要說你那個hilbert space長相還是不太對，不過轉回頭
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看看好像也不算錯
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其實在一個點上的Hilbert space很簡單啊，唯一的dynamical
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variable就是那兒的粒子數而已
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所以就span{|n>}, n non-negative integer 這樣而已
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09/03 15:58, , 71F
所有的free qft 在R^m 上面都是這麼乖的，入門書不這麼寫只
09/03 15:58, 71F
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09/03 15:58, , 72F
是因為連搞紙筆理論的都不見得關心這套。
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