[問題] 關於creator和annihilator

看板Physics作者 (Sebastian)時間8年前 (2017/08/25 22:36), 8年前編輯推噓3(3推 0噓 20→)
留言23則, 4人參與, 最新討論串1/2 (看更多)
【出處】QFT, M. Srednicki 不是習題，應該不限於這本。 【題目】 creator 和 annihilator 的「長相」是寫得出來的嗎？ (希望能用 X、P 等以往熟悉的算子表示。) 如果一般的形式太複雜，那先就 free space 或 SHO 來寫也行。 要是連這兩個情況也寫不出來，就只好問……它們真的存在嗎？ 【瓶頸】 (以下所有的 + 號都表示 dagger。) 在解QM中的SHO時可以利用 ladder operator (a 和 a^+) 來輔助， 將此概念推廣後，直接在每一個位置都放一個 operator 並稱其為 operator field。 對於 fermion，考慮 [a(x), a^+(x')] = δ(x-x') 等量子化條件。 而對於SHO來說，考慮 [a, a^+] = 1，A(y) = a, if y=x 1, otherwise 直接規定 a(x) = ⊙_{y \in space} A(y)。 (其中⊙是tensor product。) 那這樣定出來的 a(x) 就會滿足 [a(x), a^+(x')] = δ_{x,x'}。 (上面這個δ是 Kronecker δ，不過我們稍微閉一隻眼， 那他跟 Dirac δ也沒差很多，"看起來"就只是差一個 scaling factor 而已。) 我覺得這算是很直覺的推廣。 不過這引出一個問題： 如果我們用符號 <x,y,z|1,2,3> 表示 δ(x-1,y-2,z-3)。 那麼當我考慮ψ(y) = |1,2,3>, if (x,y,z) = (0,0,0) |0> (基態), otherwise ⊙_{y \in space} ψ(y) 這個 state 到底代表什麼意思？ 因為搞不懂上面這個東西，所以稍微放棄了去詮釋他，改另一個想法： 上面的 state space 和 operator space 太巨大又太奇怪， 那我能不能在原本熟悉的 operator space 中找到夠多的算子 來滿足我們的量子化條件？ 具體來說，我想找到 a(0,0,0) 是哪個算子？a^+(1,2,3) 又是哪個？ 然後才能知道，a 和 a^+ 這兩個函數的長相。 大概是這樣，敘述可能有點混亂，歡迎有意願討論的朋友提問，以溝通想法。 奇怪的問題，謝謝您的閱讀。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 61.230.128.219 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Physics/M.1503671769.A.5B4.html
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08/26 03:55, , 1F
當然行啊，隨便一本課本都找得到吧
08/26 03:55, 1F
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08/26 03:58, , 2F
我不太懂你是連SHO的creation & annihilation算子
08/26 03:58, 2F
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08/26 03:59, , 3F
長什麼樣都不知道還是要問基本粒子的這些算子
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08/26 03:59, , 4F
但當然都是用x和p表示的
08/26 03:59, 4F
推
08/26 05:05, , 5F
實在看不懂你在講什麼，Greiner在講二次量子化挺清楚的
08/26 05:05, 5F
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08/26 05:07, , 6F
你還是先複習諧震子再說吧！
08/26 05:07, 6F
我會去翻翻看，謝謝你。 然後我知道我說得很不清楚XD 所以會再敘述好一點。 下文中，Q 是一維位置算符，P 是一維動量算符。 V 是一維空間上的 ket space (state space)。 在解二維空間中的薛丁格方程式時，可將 ket space 以 V⊙V 表示。 此時我們常用的位置、動量算符： X = Q_1 = Q⊙1 Y = Q_2 = 1⊙Q Px = P_1 = P⊙1 Py = P_2 = 1⊙P 他們滿足 [Q_i,Q_j] = 0, [P_i,P_j] = 0, [Q_i,P_j] = ih_barδ_ij。 同時我們也透過一維 SHO 的 ladder operator 得到二維 SHO 的： a_1 = a⊙1, a_2 = 1⊙a a_1、a_2 都會降低量子數(與能量相關)，而且彼此互不干涉。 因為 S 的書上是說要推廣這個做法，所以在推廣的過程中， ket space 就會很自然地變大成 V⊙V⊙V⊙... 這種感覺的東西。 最後寫成 ⊙_{y \in space} (V⊙V⊙V)←寫三個是因為是三維空間。 可是一旦讓 ket space 變成這麼巨大的東西， 就會出現「在 (0,0,0) 的 |1,2,3>」這樣奇怪的 state。 ※ 編輯: Vulpix (36.227.254.218), 08/27/2017 03:17:30
推
08/27 01:24, , 7F
我假設原po的問題是，假設把a和a^{\dag}看成創造或消滅粒子
08/27 01:24, 7F
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08/27 01:24, , 8F
，那能不能把它們用粒子的x, p之類的算符寫出來
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08/27 01:25, , 9F
答案當然是不可以
08/27 01:25, 9F
所以以一維來看的話，a^{\dag}(3)|0> = |x=3>，是這樣嗎？ 那，a^{\dag}(3)|x=3> = |x_1=3,x_2=3>？是類似這種感覺嗎？ 然後 a^{\dag}(7)|x=3> = |x_1=3,x_2=7> + |x_1=7,x_2=3>。 （當然我忽略了一些 factor。） 如果是這樣，那 a^{\dag}(3) 果然已經脫離我們以前認識的 operator space 了。 那能夠用 x, p 來表示這件事當然也就單純是夢話。
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08/27 03:21, , 10F
可是像 SHO 就是 x+ip 這類形式(in QM)。我只是想寫個能說
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08/27 03:22, , 11F
服自己的形式，而且透過這些東西去思考自己會比較安心。
08/27 03:22, 11F
※ 編輯: Vulpix (36.227.254.218), 08/27/2017 04:06:26
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08/27 04:07, , 12F
就算寫不出來，至少想要知道給一組跟 Hamiltonian 無關的
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08/27 04:08, , 13F
complete basis 的時候，a(x) 這些東西如何作用。
08/27 04:08, 13F
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08/27 04:09, , 14F
基本上我不太相信 QM 前幾章用的 |x> 或 |p> 還可以繼續當
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08/27 04:09, , 15F
complete basis 用。
08/27 04:09, 15F
推
08/27 07:05, , 16F
它已經不是本來的Hilbert space了，你談算符是要注意它是
08/27 07:05, 16F
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08/27 07:05, , 17F
定義在哪個空間那個representation下的
08/27 07:05, 17F
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08/27 07:08, , 18F
算符不見的在每個representation每個space下都well define
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08/27 07:08, , 19F
的
08/27 07:08, 19F
我懂，只是書上沒說，所以就盡量用自己的想法去執行 trial and error。
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08/27 10:48, , 20F
我看不懂什麼叫「在(0，0，0) 的(1，2，3)」
08/27 10:48, 20F
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08/27 10:50, , 21F
a^{\dag}(1)就在1，搬到0就變成a^{\dag}(0)
08/27 10:50, 21F
如果用 tensor product 的那個推廣想法： 因為每個 factor 都是 V⊙V⊙V，而這個 V⊙V⊙V 有很多 ket， 例如說 |1,2,3> 就是其中一個，是一個集中在 (1,2,3) 這個點上的波函數， 而且是在量子力學中很常用的 position basis 其中之一元。 然後是把所有的 V⊙V⊙V 全部 tensor 起來， 關於每一點都有一個 V⊙V⊙V，所以 (0,0,0) 當然也會有一個。 則我們能夠寫出關於 (0,0,0) 的 |1,2,3>。 其他 factor 都放 ground state，包括 (1,2,3) 的那個 factor。 然後取這些 ket 的 tensor product 就應該會得到一個 看起來像「在 (0,0,0) 的 |1,2,3>」的 state。 ※ 編輯: Vulpix (36.227.254.218), 08/27/2017 12:46:05 ※ 編輯: Vulpix (36.227.254.218), 08/27/2017 16:35:09 ※ 編輯: Vulpix (36.227.254.218), 08/27/2017 20:51:25
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08/27 23:38, , 22F
你應該嚴重誤會了課本的意思
08/27 23:38, 22F
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08/27 23:39, , 23F
好麻煩我用回文的好了
08/27 23:39, 23F
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文章代碼(AID): #1Pe3NPMq (Physics)
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