Re: [問題] 這個量子力學的題目太奇怪了吧?
※ 引述《ntuguy (ya)》之銘言：
: 單擺的週期為1秒，擺錘質量m為1公斤
: 則一個能量量子的能量hν為何？
: h
: 書上答案是 : hν = --- = 6.63 x 10^-34
: T
: ㄜ...hν不是光子的能量量子嗎？
: 可以用來算單擺？？
: 這樣的說法對嗎？
我來拋磚引玉，看有沒有高手願意提出更漂亮，更完整和更正確的說法XD
這個問題和你的上一篇文章關聯蠻大的:物質波是什麼?然後物質波波長怎麼定義?
這裡就先說一些關於物質波的事情
(以下為了方便都只討論一維，不過套用到三維也是可以的)
(另外，因為我打不出h bar，所以我寫h實際上都是表示h bar)
先回到古典物理:在古典物理的continuous string，他的行為我們可以使用wave equation
描述(請參考Marion第13章)
wave equation的解我想大家都知道長什麼樣子:exp[i(kx-ωt)]
從這裡我們可以定義出它的波長λ=2π/k
但是，最一般的解，事實上是其線性疊加
在這種情形下，1;33[m我們自然不能明確的定義出這個波的波長
另一個有趣的事情是，如果發生了attenuation，k變成複數，我們一樣定義不出它的波長
就算我們只單單考慮一個exp[i(kx-ωt)]
類似的情形，在光學中
實際上一個sinusoidal function的其中一段，並不是單色光
它是多個頻率(波長)的單色光組合起來的
討論一下群速度和相速度
我們經常聽到，相速度並不是傳遞資訊的速度，傳遞資訊的速度我們應該要考慮群速度
原因是什麼?
首先，先知道相速度怎麼定義的:一個exp[i(kx-ωt)]，其相位ψ=kx-ωt保持恆定(dψ=0)
則dx/dt=ω/k
而一個wave packet，其整體移動速度，(在只考慮一階的情形下)會是群速度
(可以去參考群速度是怎麼推導的)
今天，如果有一個wave packet在繩子上行進
如果我們認為傳遞資訊的速度是相速度，很明顯是不合理的
因為這個wave packet是由多個exp[i(kx-ωt)]疊加起來的，我們怎麼知道該用哪一個?
而且，一個單純的exp[i(kx-ωt)]
無論是在時間上，或是空間上，你都無法明確做出區別
換一個有趣的用語，無論你對它進行space or time translation
只要取了適當的間格(整數倍的波長或週期)，看起來都一樣
這裡回到物質波
實際上，一個可以定義出波長的物質波是一個平面波
也就是，它會具有exp[i(kx-ωt)]這樣子的形式
我們把這個拆開為exp(ikx)exp(-iωt)
稍微比較一下，我們就可以知道
exp(ikx)=exp(ipx/h)是momentum operator的eigenstate
exp(-iωt)=exp(-iEt/h)是在Schrodinger equation進行seperation of variable
時，時間演進的部分
所以，實際上，更正確的寫法，應該是將exp[i(kx-ωt)]寫成exp[i(px-Et)/h]
它是更具有物理意涵的寫法
當然，這裡就有其他問題了，我既然說這是seperation of variable
那就表示，exp(ipx/h)應該是time-independent Schrodinger equation的解
顯然的，此時H只有動能項，沒有位能；換句話說，這是free particle
E=(p^2)/2m
(這裡我們可以換另一種解釋方法:
我們將time evolution operator作用在exp(ipx/h)上
exp(-iHt/h)要變成exp(-iEt/h)，代表exp(ipx/h)是H的eigenstate)
反過來看，因為free particle的[H,p]=0，所以我們自然可以找出H和p的simultaneous
eigenstate
再更一般化，我們可以將波函數，或者說state vector
用momentum operator的eigenstate表示出來，也就是|Ψ>=∫dp a(p,t)|p>
和上面比較，我們就能知道，對於free particle，a(p,t)=exp(-iEt/h)
不過，值得注意的是，除非Ψ=Aexp(-iEt/h)exp(ipx/h)
不然我們無法定義出它的物質波波長，就跟古典中的情形一樣
另一個值得說的是，我們不一定要用波函數Ψ(x;t)來描述系統
更一般化一點，我們可以使用state ket(vector)|Ψ(t)>
顯然的，在這種描述下，所謂的物質波波長就不重要了
可以說，只有<x|p'>，所謂的物質波波長才可以定義
以我的想法來看，物質波這概念
重要性是讓大家知道物質會呈現出類似波的性質，也就是波函數
但是，像是物質波波長，並不是特別重要
換句話說，物質波重要的是在"觀念"上，而不是"量化"上
(不過有時候會用這來評估古典極限出現的界線)
說了一長串，可以開始寫結論，也就是直接回答問題了XD
(1)我們對一顆棒球，可以定義它的物質波波長嗎?
當然，不可能，一顆棒球不管怎麼看都不可能是free particle
就算一顆棒球是free particles組成的(想當然不可能)，我們也無法知道各個particle
有沒有一樣的動量
很有趣的是，就算就算一顆棒球真的是一個free particle
我們怎麼知道它的state vector剛好是momentum operator的eigenstate?
這裡牽涉到另一個問題，我們很明顯地看到了一顆棒球，我們是不是對他進行了"量測"?
顯然是的，那我們是量測它的動量還是位置?
我只能說:不知道，因為這是巨觀的世界，棒球隨時都和外界進行交互作用
它的state受到了大量的影響--顯然的，這根本不會是free particle
一言以蔽之，我覺得用巨觀的例子實在是不恰當
用這種方法算到的物質波波長....我覺得完全沒有物理意義
(2)至於第二個問題，首先，1公斤....這明顯是巨觀系統了
就如同有人推文中所說，我也認為hω是因為它是近似的harmonic oscillator
和物質波完全沒有關係
但是，巨觀上的harmonic oscillator，微觀上會是嗎?當然不可能
另一個重要的問題，微觀上的harmonic oscillator會有週期行為嗎?
普遍來說不會有，因為我們怎麼知道它是那些base ket疊加起來的?
譬如，假如說state ket剛好等於energy eigenket
那它是steady state，位置的"期望值"永遠不會變
(從Hermite polynomial的對稱性可以看出來是0)
更基本的問題在於，一個微觀系統的位置是機率性的，那它的週期是怎麼定義的?
如果我們選擇使用位置的期望值，就跟上面所說，你要想辦法把它的
energy eigenfunction疊加起來，然後讓它的位置期望值可以有週期性變化.....
至少看起來不是簡單的數學問題XD
跟上一個問題一樣，這問題很明顯過度簡化
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不過，並不是所有的巨觀系統都不適合用量子力學描述
在一些統計力學的書中會提到中子星，它就需要量子力學
像是很多巨觀性質，譬如半導體的導電性，物質的磁性等等
全都需要量子力學解釋XD
(我們現在眼前的螢幕，旁邊的電腦主機，也是有量子力學才能出現的XD)
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