Re: [閒聊] 最小作用量原理的由來

看板Physics作者pipidog (如果狗狗飛上天)時間13年前 (2010/11/01 15:05)推噓11(11推 0噓 11→)

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最小作用量最精確的解釋是"不要解釋",它是一個postulate. 這個postulate的意義只有在量子的情況下才可以得到"比較滿意"的答案 (也只是比較,並不是真的滿意!). 但畢竟古典力學本身也是一套嚴謹的理論,在古典的層次上,也不是完全沒有意義. 沒道理一個完全建構在古典力學架構上的理論,非得扯到量子不可,這是不合理的.我們講F=ma不靠量子,為何講action就要? 所以我勉強講講看自己對action的看法. 簡單的說,"action是動量所相應的純量場"! 1.action是一個平面族,這個平面族的法線所相應的就是粒子的動量. 2.所以位能V相應於力F=-grad(V),等於action S相應於P=grad(S) 換言之,純量場V是generate向量F所相應的一個場純量場S是generate向量P所相應的一個場 3.這兩個場的時間演化有不同的性質,對於一個封閉系統,V不顯含t,但是對於一個封閉系統,S的時間演化滿足dS/dt=-E (是偏微,我打不出),換言之, 即便是封閉系統,S場的仍是顯含時的,而其變化率正是時間平移群的生成元.因此時間平移對稱的系統,當妳在平移時間的時候,對應到的就是S場的線性變化(後見之明,我們之到這就是量子裡面的exp(-iEt),對應到相位的變化) *所以在古典物理上,S這個場之所以隱晦難解,正是因為這個在量子(或者光學)裡面被放到exp上面的項,在古典被放了下來,變成獨立存在的量了.而S 對應於P正如同P在QM上也對應於一個相位變換.但這是後見之明了 4.最小作用量闡明系統會挑選S為極值的路徑.另一方面,我們知道這系統的運動方程是H-J方程,這兩者可以互推.換言之,我們把邏輯反過來思考,已知系統的運動方程是H-J eq,試問這個方程是可否有積分的表達形式? 答案是肯定的,"數學上證明,我們總是可以找出一個泛函量S,對這個S作泛函的微分,就是H-J eq".這就是最小作用量原理!而進一步的計算表明,這個泛函S的可以寫成L的積分. (當然,因為泛函的微分因為可以解釋成極值路徑,大家就開始思考背後有什麼神秘的意義了.其實這跟一般的函數沒兩樣,你把一個函數寫成積分. 要求回原來的函數,不就是微分嗎? 只是到了泛函裡面,這個微分成了變分, 多了一困擾大家的物理意義了,使得整個定理變得很神秘,但其實他再簡單不過,就只是你把一個方程式寫成積分跟微分兩種表述罷了.) 5.S場相應到的是動量,換言之S=int(L)dt表明,L相應於某個極短時間內的S 場的貢獻.當我們把時間取得夠短,L的意義就明白了,他是某個極短的時間內的動量所相應的生成場.更進一步的說,L就是S的全微分時變率. 所以S也可以把E跟L關聯,S的偏微是E,S的全微是L. 所以E是S的顯含時項, L是S的時變率. 所以當你在相空間裡跟著質點走,你看到的S場時變率就是L, 如果你在相空間裡面待在一點不動,你看見的S場時變率就是E 基於此,整部古典力學可以一切重來,從S開始教起,我們的觀念就全變了! S變成基本量,所有的力學觀念都從這個叫作S的場衍生出來. 綜上是我對最小作用量的理解. 或有不精確之處,但大意如此. *總結: 如果系統的運動方程是微分來描述,大家通常覺得很自然,但是變成積分就感覺很不舒服.我想大多數人覺得最小最用量原理感覺很抽象是這個原因.簡單的說,是語言問題. 其實整套由L發展出來的力學,大家都同意他跟H或是保守場的牛頓力學是等價的,但是大家不會去問H(or 能量)是什麼,卻會一直很執著於L的意義是什麼, 大家不會去問為什麼系統的運動方程滿足H-J方程,Hamiltonian方程,或是牛頓方程,卻會去問為什麼要滿足最小作用量原理.事實上,最小作用量原理只是去找出一個泛函,這個泛函的微分(變分)就是那個微分方程.簡言之,他們是一組微分方程的生成函數(泛函). 我自己的看法是,因為大家(甚至多數的物理學家,甚至人類的天性?)天生就對微分感覺比較舒服,對於積分感覺特別不舒服.而其實整套L力學的根源無他,就是把原本用微分寫的力學改成用積分表述罷了.才會令人如此困惑. 所以每次當人家問我,L是什麼的時候,我都會反問他那能量H是什麼? 每當有人問我least action是什麼的時候,我都會反問那Hamiltonian是什麼,F=ma是什麼 ? 他們都是一樣的東西,只是一邊用微分說,一邊用積分說,但說的故事是一樣的. 我們不了解L的意義,難到我們就比較了解H的意義? 我們不了解least action的意義,難到我們就比較了解F=mx''的意義? 但是對於微分表述,大家都可以很自然的說"這是postulate! 很可怕不要問!" 但是對於積分表述,好像就非得搞清楚一個道理才能下嚥. 例如非得把S跟p這個基於微分表述所產生的概念給關聯了,才能勉勉強強的接受他. 所以有沒有可能對微分的偏好不只是物理學的傳統,而是大腦的某種天性? (其實我在這扯了一堆,我也還是對L感覺很不舒服,唯一能夠對積分形式感覺舒服的大概只有Feynman了. 一個粒子可以走遍時空中所有可能的路徑從一個點到另一個點,這麼荒謬的圖像他居然想的到,但天才就是這樣,雖然荒謬,大家卻也想不到更好的圖像了,至少比起沒道理的,微分的"postulate",這個基於積分的圖像美多了.是物理學上少數積分比微分更讓人喜歡的異數,物理發展的過程中,幾乎沒有一個運動方程可以是積分卻比微分更具有物理圖像的.至於更深的意義,就交給 rpfeynman回答了.) -- ★人生中最溫暖的夏天是在紐約的冬天★ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 128.120.178.195

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