Re: [問題] 請問電子波函數有關自旋的問題

看板Physics作者Frobenius (▽．(▽×▽φ)=0)時間14年前 (2010/05/17 02:19)推噓5(5推 0噓 0→)

留言5則, 5人參與討論串2/2 (看更多)

※ 引述《potatato (patatato)》之銘言： : 請問板上的先進三個問題： : 1.Eisberg的近物P311提到，電子的總波函數可以拆成space與spin兩個部分的乘積 : (total eigenfunction)=(space eigenfunction)*(spin eigenfunction) : n、l、ml、ms n、l、ml ms : 為什麼我們一定可以這樣拆呢？ Schroedinger equation 只能求出 space 項沒辦法多出 spin 項加入 spin 項可以說明能階的分裂及其他實驗結果從非相對論框架上出來的 Schroedinger equation 的解只能硬加入 spin 項後來 Dirac 很天才的把相對論跟量子力學結合在一起從相對論能量出發 2 2 2 2 2 2 2 2 2 E = P c + (m0 c ) => (E/c) = P + m0 c ( 令 P4 = E/c) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 => P4 - P - m0 c = 0 => P4 - [ (P1 + P2 + P3 ) + (m0 c) ] = 0 將此四動量用一般代數展開的方式，可化簡為 ( P4 - α1．P1 - α2．P2 - α3．P3 - α4．m0 c ) ( P4 + α1．P1 + α2．P2 + α3．P3 + α4．m0 c ) = 0 此時 α1、α2、α3、α4 為 4*4 矩陣 0 σx 0 σy 0 σz 可在化簡為 α1 = ( )、α2 = ( )、α3 = ( ) σx 0 σy 0 σz 0 I 0 α4 = ( ) = β 0 -I 其中 0 為 2*2 之 0 矩陣，σx、σy、σz 為庖利矩陣，I 為 2*2 之單位矩陣 - ( - P4 ± α1．P1 ± α2．P2 ± α3．P3 ± α4．m0 c )Ψ = 0 ( - P4 ± α1．P1 ± α2．P2 ± α3．P3 ± α4．m0 c )Ψ = 0 ( ± α1．P1 ± α2．P2 ± α3．P3 ± α4．m0 c )Ψ = P4Ψ ± ( α1．P1 + α2．P2 + α3．P3 + α4．m0 c )Ψ = P4Ψ ± [ c ( α1．P1 + α2．P2 + α3．P3 ) + α4．m0 c^2 ] Ψ = P4 c Ψ = E Ψ (以下之 d 為偏微分) ^ E → H = i hbar d/d t ^ P4 = E/c → P4 = i hbar/c d/d t ± [ c ( α．P ) + α4．m0 c^2 ] Ψ = i hbar dΨ/dt ( 取 + 或 - 僅 Ψ 的時間部分為 e^-(± E/hbar t)如此的差異，α4 = β ) 故取 + ，另外我們再加上位能則上式成為下式，即為著名的 Dirac equation： [ c ( α．P ) + β m0 c^2 + V ]Ψ = i hbar dΨ/dt spin 項自然而然就跑出來了另外 Dirac equation 可經過一些近似得到 Schroedinger equation 及其他微擾項推導請查閱林清涼啟發性物理學近代物理Ⅰ參考文獻和註 9) P400~406 ^ 2 ^ 4 2 P P hbar d V(r) p E'ψ2 = { [ ── + V(r) ] - ───── - ───── ─── ─ (p 為偏微分) 2 m0 8 m0^3 c^2 4 m0^2 c^2 d r pr 1 1 d V(r) ^ ^ + ───── - ─── ( S．L ) } ψ2 2 m0^2 c^2 r d r ^ 第一項：Schroedinger equation 的 H (可以從古典得到) 第二項：相對論質量修正 (也可以從古典得到) 第三項：相對論位能修正項 (似乎可以用古典的電子非點電荷的修正得出？) 第四項：自旋軌道相互作用 (也可以從古典得到) 雖然 Schroedinger equation 是猜出來的不知道這些推導是否可作為 Schroedinger equation 的推導過程只要說明後面三項可用特徵值的理論把極小項忽略，還有在一開始時就把 m0 用縮減質量 m 代替， (因為可以用相對論下的二體運動化為相對論下的 2 個一體運動) 即得到 Schroedinger equation 的推導！ : 2.課本上用(+1/2, +1/2) : (-1/2, -1/2) : [1/(2)^1/2]*[(+1/2, -1/2)-(-1/2, +1/2)] : [1/(2)^1/2]*[(+1/2, -1/2)+(-1/2, +1/2)] : 這四種方式來描述兩個電子spin eigenfunction : 也就是很含糊用(1/2)就代表了某個電子的spin eigenfunction : 難道我們就寫不出來電子spin eigenfunction真正形式嗎？ : 是不是解Schroefinger equation只有解出space eigenfunction的部分？ : spin eigenfunction不包括在Schroefinger equation裡頭？我用是 SphericalHarmonicY [L,M,Θ,Φ] 的展開公式然後將 L = 1/2，M = ±1/2得出 1/2 ______ (+1/2) = Y (Θ,Φ) = i/π e^( iΦ/2) √sin Θ 1/2 -1/2 ______ (-1/2) = Y (Θ,Φ) = 1/π e^(-iΦ/2) √sin Θ 1/2 (1/2)*(1/2)、(-1/2)*(-1/2)均正交歸一化代入以下運算子驗證均符合 (以下之 d 為偏微分) ^ 2 1 d d 1 d^2 S = - hbar^2 [ ─── ── ( sin Θ ── ) + ──── ─── ] sin Θ d Θ d Θ sin^2 Θ d^2 Φ ^ ^ ^ iΦ d d S+ = Sx + i Sy = hbar e ( ── + i cot Θ ── ) d Θ d Φ ^ ^ ^ -iΦ d d S- = Sx - i Sy = hbar e ( - ── + i cot Θ ── ) d Θ d Φ 也符合 Gaunt Integral ( http://tinyurl.com/23lmvf2 ) 裡的 Clebsch-Gordan 係數但Θ、Φ是什麼？是磁偶極矩所旋轉的方向嗎？另外畫出來的圖 (1/2)*(1/2) = (-1/2)*(-1/2) = sin Θ/π^2 是上下漏斗形的圖，這是機率密度的分佈嗎？難以解釋XD : 3.請問state和orbital要怎麼分呢？ : 假如一個電子n=1,l=0,ml=0,ms=+1/2，那這組quantum number(n=1,l=0,ml=0,ms=+1/2) : 代表的是一個state還是一個orbital呢？ : 抑或如果是space quantum number(n=1,l=0,ml=0)代表的是一個orbital呢？這點我認為在物理上是用 state，化學上用 orbital 稱呼之 : 不好意思基礎不太好 : 很多物裡的東西我沒上過課只靠自己看書 : 看不懂的地方請版友們能指點迷津，謝謝 ^^ 量子力學這東西範圍太廣了XD 大家互相指點迷津是好事也能知道自己思考盲點在哪^^ -- 電子Dirac 方程式：[c(α．p) + β m0 c^2 + V( r )]Ψ = i hbar dΨ/dt -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 118.160.209.207

推

sunev

05/17 02:54, , 1^F

05/17 02:54, 1^F

推

kagato

05/17 09:34, , 2^F

05/17 09:34, 2^F

推

h888512

05/17 23:27, , 3^F

05/17 23:27, 3^F