[問題] 強簡併之 Fermi-Dirac 氣體：能量於低뜠…

看板Physics作者Frobenius (▽．(▽×▽φ)=0)時間16年前 (2010/03/23 00:37)推噓1(1推 0噓 18→)

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在 p > -1 ，且 Ef >> KT => (Ef/KT) >> 1 時之低溫極限下： p ∞ p ∞ E ∫ E F dE = ∫ ─────── dE 0 FD 0 (E-Ef)/kT e + 1 ----------------------------------------------------------------------------- 可藉由兩種方法計算之： 1. Sommerfeld's Method (吳大猷理論物理的第五冊熱力學，氣體運動論，統計力學的第十九章 , P427～P428) (無外力場下即不考慮自旋的情況） (另外 P427 最後一式中的 Binomial符號，括弧中應該改 2j 為 2j+1 這樣才正確) 2. Integrating by part (Ashley H. Carter, Classical and Statistical Thermodynamics , P358～P359) (考慮自旋的情況，所以能量密度為上例的兩倍） ※ 第二種方法技巧較少也較容易理解 ----------------------------------------------------------------------------- 1 p+1 ∞ 2n 1 d^(2n) p+1 ≒ ── [ Ef + Σ 2(KT) ( 1 - ──── ) ζ(2n) ──── ( Ef ) ] p+1 n=1 2^(2n-1) dEf^(2n) 1 p+1 ∞ 2n 1 (p+1)! p+1-2n = ── [ Ef + Σ 2(KT) ( 1 - ──── ) ζ(2n) ──── Ef ] p+1 n=1 2^(2n-1) (p+1-2n)! 1 p+1 ∞ 1 (p+1)! KT 2n = ── Ef [ 1 + Σ 2 ( 1 - ──── ) ζ(2n) ──── ( ─ ) ] p+1 n=1 2^(2n-1) (p+1-2n)! Ef 1 p+1 ∞ 1 (p+1)! T 2n = ── Ef [ 1 + Σ 2 ( 1 - ──── ) ζ(2n) ──── ( ─ ) ] p+1 n=1 2^(2n-1) (p+1-2n)! Tf 在此以無外力場下即不考慮自旋的情況當例子： 2 m 3/2 1/2 能量密度 g = 2πV ( ── ) E (若考慮自旋自動乘2) e h^2 1/2 ∞ 2 m 3/2 ∞ E N(T) = ∫ g F dE = 2πV ( ── ) ∫ ─────── dE 0 e FD h^2 0 (E-Ef)/kT e + 1 4πV 3/2 3/2 π^2 T 2 7 π^4 T 4 ≒ ── (2m) Ef [ 1 + ── ( ─ ) + ─── ( ─ ) + … ] 3h^3 8 Tf 640 Tf ※ 吳大猷的書上的四次項為 7 π^4 / 320 應該是計算錯誤不然就是印錯 ∞ 2 m 3/2 Ef(0) 1/2 N(0) = ∫ g F dE = 2πV ( ── ) ∫ E dE 0 e FD h^2 0 4πV 3/2 3/2 4πV 3/2 = ── (2m) Ef(0) = ── (2m Ef(0)) 3h^3 3h^3 又粒子數守恆 N(T) = N(0) 3/2 π^2 T 2 7 π^4 T 4 3/2 Ef(T) [ 1 + ── ( ─ ) + ─── ( ─ ) + … ] = Ef(0) 8 Tf 640 Tf 3/2 3/2 π^2 T 2 7 π^4 T 4 -1 Ef(T) = Ef(0) [ 1 + ── ( ─ ) + ─── ( ─ ) + … ] 8 Tf 640 Tf π^2 T 2 7 π^4 T 4 -2/3 Ef(T) = Ef(0) [ 1 + ── ( ─ ) + ─── ( ─ ) + … ] 8 Tf 640 Tf π^2 T 2 π^4 T 4 Ef(T)≒ Ef(0) [ 1 - ── ( ─ ) + ─── ( ─ ) + … ] 12 Tf 720 Tf http://en.wikipedia.org/wiki/Fermi_energy 但是網頁中 Free electron gas 內容中的四次項為 - π^4 / 80 不一樣 3/2 ∞ 2 m 3/2 ∞ E U(T) = ∫ E g F dE = 2πV ( ── ) ∫ ─────── dE 0 e FD h^2 0 (E-Ef)/kT e + 1 4πV 3/2 5/2 5 π^2 T 2 7 π^4 T 4 ≒ ── (2m) Ef [ 1 + ─── ( ─ ) - ─── ( ─ ) + … ] 5h^3 8 Tf 384 Tf 3 4πV 3/2 Ef(T) 5/2 = - ── (2m Ef(0)) Ef(0) ( ── ) 5 3h^3 Ef(0) 5 π^2 T 2 7 π^4 T 4 ．[ 1 + ─── ( ─ ) - ─── ( ─ ) + … ] 8 Tf 384 Tf 3 π^2 T 2 π^4 T 4 5/2 = - N(0) Ef(0) [ 1 - ── ( ─ ) + ─── ( ─ ) + … ] 5 12 Tf 720 Tf 5 π^2 T 2 7 π^4 T 4 ．[ 1 + ─── ( ─ ) - ─── ( ─ ) + … ] 8 Tf 384 Tf 3 5 π^2 T 2 19π^4 T 4 = - N(0) Ef(0) [ 1 + ─── ( ─ ) - ─── ( ─ ) + … ] 5 12 Tf 144 Tf 但是在 Ashley H. Carter, Classical and Statistical Thermodynamics , P365 (19.18)式中的四次項為 - π^4 / 16 有出入且原文書中的 U 對 T 微分可以得到比熱的展開式希望有高手能解開我的疑惑，指出那個步驟錯了，然後導出最正確的結果！感激不盡^^ -- 電子Dirac 方程式：[c(α．p) + β m0 c^2 + V( r )]Ψ = i hbar dΨ/dt -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 118.160.213.211 ※ 編輯: Frobenius 來自: 118.160.213.211 (03/23 00:57)

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chungweitw

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