Re: [問題] 轉動慣量的推導
※ 引述《zweisteine (聖人見微以知萌)》之銘言：
: ※ 引述《Monsoon (^^)》之銘言：
: : 請問球殼怎麼推，我還是不會.....
: : 還有球的我是這樣寫：
: : r^2 dm = r^2 dρ(4/3)πr^3 可是這樣積出來是(3/5)MR^2 請問哪裡錯了??
: : 拜託大家教教我，我很想弄懂 m(_ _)m
: 想物理問題卡住的時候，不妨想想他背後的物理圖像，對於解題會有很大的幫助。
: 既然已經知道球的轉動慣量了，
: 那麼這時其實已經可以完全不用積分得出球殼的結果。
: 想像把一個半徑為(R+ΔR)的大球挖掉一個共同球心，半徑R的小球。
: 當ΔR很小的時候，這看起來就像是一個球殼。
: 假設密度均勻，大小球和球殼的質量分別是
: 小球質量M1=M1
: 大球質量M2=M1(R+ΔR)^3/R^3=M1(1+ΔR/R)^3~M1(1+3ΔR/R)
: 球殼質量=M2-M1~M1*3ΔR/R。
: 球殼的轉動慣量就是大球的轉動慣量減掉小球的轉動慣量，
: 也就是說，
: I=(2/5)M2*(R+ΔR)^2-(2/5)M1*R^2
: ~(2/5)M1(1+3ΔR/R)R^2(1+2ΔR/R)-(2/5)M1*R^2
: =(2/5)M1R^2(3+2)ΔR/R
: =2M1RΔR
: =2/3(M1*3ΔR/R)R^2
: =2/3(M2-M1)R^2。 得證
: 回到積分的問題，積分式不會列，dm不知道要怎麼寫，怎麼辦呢？
: 不妨這樣想：
: 球殼可以拆成一堆同軸的圓環，
: 這些圓環從側面看像是梯形，從上面看是圓。
: 當圓環很細的時候，圓環上端和下端的週長幾乎相同，
: 這個時候它的轉動慣量就很簡單，
: 因為所有的質點都以相同的距離繞著軸轉，所以轉動慣量就是Mr^2。
: 所以球殼的轉動慣量就是所有圈圈的轉動慣量相加。
: 用球心到每個圈圈的線以及共用軸之間的夾角θ去標示，
: 則每個圈圈的半徑是Rsinθ，
: 每個圈圈的質量則是M(2πR^2sinθdθ)/4πR^2
: 上面這個式子要說明一下，圈圈的質量是球殼質量*(圈圈面積)/球殼面積，
: 圈圈的面積是圓周長*高=(2πRsinθ)(Rdθ)
: 所以把這些圓環的轉動慣量全部相加就是一個積分：
: π
: I=∫ [M(2πR^2sinθdθ)/4πR^2](Rsinθ)^2
: 0
: π
: =∫ (M/2)R^2(sinθ)^3 dθ
: 0
: =(M/2)R^2*(4/3)
: =(2/3)MR^2
: 從物理的圖像，把球殼看成大球減小球，或是一堆圓環加起來，
: 數學上的對應其實就只是微分和積分而已，
: 但是從圖像來切入會讓問題生動許多，對於列出正確的式子也幫助非常大。
球殼的轉動慣量，用對稱性的話
Iz = ∫x^2+y^2 dm 積分範圍是那個殼 (以z軸為轉軸)
Ix = ∫y^2+z^2 dm (以x軸為轉軸)
Iy = ∫z^2+x^2 dm (以y軸為轉軸)
可是其實I=Ix=Iy=Iz
=> 3I=∫2(x^2+y^2+z^2)dm = 2R^2∫dm = 2M(R^2)
=> I = 2/3 MR^2
球體 就是差在
3I = ∫2(x^2+y^2+z^2)dm = 2∫r^2 dm = 2 (M/(4/3πR^3)) ∫ 4πr^2 * r^2 dr
^^^^^^^^^^^^^^^密度
= 6/5 M R^2
=> I = 2/5MR^2
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◆ From: 140.112.218.91
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