Re: [請益] Borel summation

看板Physics作者covari (魚昆)時間17年前 (2009/04/27 14:41)推噓2(2推 0噓 9→)

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※ 引述《chungweitw (.)》之銘言： : 這算是數學問題. 但是卻經常用在物理, 尤其在高能物理. : 算是為了解決 divergent perturbation series 的一個方法. : 所以我也順便在物理版問問. : http://www.nbi.dk/~polesen/borel/node7.html : 不懂: : 1. not a uniformly convergent series 未必可以交換 : 積分和sum 的順序. 他這邊說, 我們定義一個 Borel : sum..把積分和sum的順序交換. 好吧. 我就姑且接受 : 2. 最後一步.. : sum_{n=0}^{\infty} (xt)^2 = 1/(1-xt) ? : 這又是怎一回事? 先把 |xt| 當成小於 1, 得到級數 : 然後說此 integral 在所有 x<0 皆成立. : ( 自己就不管之前 |xt|<1 的條件了? ) 這個x<0 是相對於積分來說的不是級數的條件 Integrand的pole在1/x, 所以x<0時積分路徑不會經過pole 至於sum_{n=0}^{\infty} (xt)^2 = 1/(1-xt) 應該是來自於把右式的xt從R解析延拓到C 此時只要xt != 1 即可可以是C中的任意數然後再很胡搞的宣稱左式亦同 Orz 而且不管左式長怎麼樣只要右式帶進去算得出答案的都會等於左式 : 邏輯是如以下這樣的嗎? : 一切都發散 => 得到一個 |xt|<1 則會收斂的級數 : => 得到一個對於 x<0 會收斂的積分 : => 這就是我要的結果. 發散的 perturbation 已經不是我要的了. : ( |xt|<1 這也不重要! 反正我要的結果和 t 無關 ) : 誰能說服我這不是在胡搞? : 謝謝我認為像這個算式重點不是結果最後會發散而是當我們把發散的部份集中起來後剩下收斂的部份長怎麼樣這些收斂的部份的行為才是重點舉例像是sum_{n=0}^{\infty} x^n 這個例子在|x|<1才會收斂如果用Borel的作法最後會得到 e^(-(1-x) t ) / (1-x) |t=\infty t=0 很明顯的分子部份會發散但是整體的值不是重點剩下來的部份分母的行為才是我們要觀察的至於你說不是uniformly conv.的函數積分和sum不可交換....這個嗎... 物理當中不連續函數都視為可微分微分後跑出delta function delta function都視為連續可積函數積分路徑碰到pole也沒關係取principal value就好你覺得還有什麼不可能的嗎? XD -- 宇宙中只有一個太陽系，冥王星是太陽系九大行星中不可分割的一部分。如果IAU執意要干預本星系內政，將不排除以武力侵犯冥王星之可能性。節錄自【吃飽太閒之反星系分裂法】第二條 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.109.103.226

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chungweitw

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