Re: [微積] 關於wave equation
我要推z大解釋得很清楚
不過如果原PO不熟 Fourier 轉換的話可以看下面我用變數代換的解釋：
其實這個推導並沒有那麼賴皮啦 XD
令D為偏微分符號，原式是
[(D/Dt)(D/Dt) -c^2(D/Dx)(D/Dx)] [u(x,t)] =0
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^這一串都是算子，線性算子的運算和多項式同構
所以拆成平方差運算是沒問題的
不過，用變數代換來想最不會出錯
令 z=t-cx 則 t=w+z
w=t+cx, x=(w-z)/2c
因此這個代換是 1-1, onto，而且 z,w 可以看成獨立變數
D/Dz = (D/Dt)-c(D/Dx)
D/Dw = (D/Dt)+c(D/Dx)
(D/Dz)(D/Dw) = (D/Dt)(D/Dt) -c^2(D/Dx)(D/Dx) 這個等式是算子的等式
所以由原式 (D/Dz)(D/Dw) [u(z,w)] = 0 <============ u(z,w) = f(z) + g(w)
這是單向的！
稍微改寫一下令 Z=(-c)*z, W=(-c)*w 整理得到
u(Z,W) = F(x-ct) + G(x+ct) ===> [(D/Dt)(D/Dt)-c^2(D/Dx)(D/Dx)] [u(x,t)] =0
<<Remark>>
(1) 之所以物理學家喜歡 (Z,W) 的代換，稍稍勝過 (z,w) 的代換
是因為可以想像物理意義...
(2) 另一個方向有沒有成立還要想想看...
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也許有一天，我們會很有默契的知道，
該各自往人生的路走下去，儘管捨不得對方的陪伴。
又也許，那一天一直不會來到，
那我們就擁有童話般的結局──永遠在一起了。
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