Re: [考題] 關於材料力學之Poisson's Effect
※ 引述《shymeshy (JoJo)》之銘言：
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: ※敬請利用此討論版，討論學術性方面的問題(^^")
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: 科目:材料力學
: 題目:Poisson's Effect
: 想法:想請教關於斷面型狀的分析
: 是這樣的，我在想以前討論蒲松效應，斷面都是方型的，所以當對材料施一正向力，
: 材料的斷面會均勻變型(直徑會變大變小)，那如果今天斷面不是方型的呢????
: 如果是梯形斷面會怎麼樣呢???還會有蒲松效應嗎?
: 示意圖:
: ┌───────┐
: │ │←F 直徑會(均勻)變化
: └───────┘
: 那假如今天是一個梯型勒!!!!???
: F
: ↓
: ┌───┐
: / \
: / \
: ───────
: 他會怎麼變型???
: 會遵守蒲松效應?
: 跪求不管是大學部的學長或是研究所 博士班的學長給我一些指導!!!!
: 謝謝大家!!!!
Poisson's ratio ＝ -dε ／dε
trans／ axial
δ ＝ＬＰ／ＥＡ
axial
ε ＝δ ／ Ｌ ＝Ｐ／ＥＡ
axial axial／
Ａ為截面積，假設此梯形柱俯視為正方形，則截面積等於邊長平方，其邊長為ｙ的函數。
Ｐ和Ｅ為定值，可以知道ε為ｙ之函數，並非定值，且無法用巨觀角度看待。
下圖為假設之梯形柱，附上原點座標與代數。
設原點座標於底面正中央，Ｚ軸省略不考慮，因為εz＝εx＝εtrans。
(材料為均質性且等向性)
設底邊長為L，高度為H，斜面傾斜角度為θ。
則邊長L(y)＝L－2*y*tanθ (0 ≦ y ≦ H)
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿
／ ＼ ↑
／ | ＼ ｜
／ |θ ＼ ｜
／ | ＼ ｜Ｈ
／ | ＼ ｜
／ ｙ | ＼ ｜
／ ↑ | ＼ ↓
／＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．→ｘ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＼ ＿
| |
|←─────────────────────────→|
Ｌ
截面積A(y)＝L(y)^2＝(L-2*y*tanθ)^2
代入ε ＝Ｐ／ＥＡ
axial
可得ε ＝Ｐ ／
axial ／Ｅ*(L-2ytanθ)^2
εaxial為y函數
εtrans＝-ν*εaxial
ε ＝ -νＰ／
trans ／E*(L-2ytanθ)^2 一樣是y函數
δ (ｙ)＝ε (ｙ) * Ｌ(ｙ) ＝ -νＰ ／
trans trans ／E*(L-2ytanθ)
此變化量極度微小，我預計變形後的形狀會如下圖一樣。
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
/ \
/ \
／ ＼
／ ＼
／ ＼
／＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＼
斜面會成一內凹的曲面，但不管是頂部還是底部的邊長都比未受應力時來的長。
參考資料:
1.http://en.wikipedia.org/wiki/Poisson%27s_ratio
2.Mechanics of Materials(James M. Gere & Barry J.Goodno) 7.Ed Section2.11
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