Re: [微積] 請幫忙檢查重積分(徵校稿500NTD)
14年後 AI浪潮掀起
想起了曾經困擾著我的許多問題 過往的種種回憶湧上心頭
於是把一些以前問不著答案的東西丟給AI 不用三分鐘 解答清清楚楚
人老了真的不得不服老 這些東西也脫離我十年了
但能親眼看到AI在改變很多事情 算是餘生有幸吧
※ 引述《harry901 (forcing to A cup)》之銘言：
: 因為模型碰到問題了 如果能夠找出封閉解 每題賞金500NTD 拜託了
: 請幫忙看看以下的概念是否有誤 脫離微積分太久了 囧rz
: (1) z-μ[t]
: ∞ k -λt 1 -0.5(---------)^2
: 試求∫∫ λ*e * ------------e σ[t] dzdt 是否有封閉解？
: n -∞ σ[t]√(2π)
: 其中μ[t]=At+B, σ[t]=Ct+D, 而A,B,C,D,n,k,λ皆為常數, 且t>0, μ[t]與σ[t]=\=0
: 小弟目前只能作到這樣
: 原式 =
: z-μ[t]
: ∞ -λt k 1 -0.5(---------)^2
: ∫λ*e ∫ --------------e σ[t] dzdt
: n -∞ σ[t]√(2π)
: =
: ∞ -λt
: ∫λ*e *N(k,μ[t],σ[t]) dt
: n
: 其中N(,)表示常態CDF
: 接下來就碰壁了 似乎只能用數值的方式去解的樣子
: 或是一開始可以用什麼積分變換或是其他方法來解嗎?
以下是gemini的答案摘要:
這是一個涉及機率密度函數的雙重積分問題。我們可以分步來分析這個積分是否有封閉
解 (closed-form solution)。簡單的結論是：一般情況下（當 C=\=0 時），此積
分沒有標準的封閉解。只有在特殊情況下（例如 σ為常數，即 C=0），才
可以用誤差函數 (Error Function, erf) 或標準常態累積分布函數 () 表示出封
閉解。以下是詳細的數學推導過程：
1. 整理積分式與範圍首先，釐清變數與積分範圍。題目給定：$t$ 的範圍：雖
....
.....略
2. 計算內層積分 (對 $z$ 積分)
....
...略
3. 分析外層積分 (對 $t$ 積分)現在將內層結果代回原式，問題簡化為單變數積分：
....
.......
...略
我們需要判斷這個積分是否有封閉解。
情況一：
.....
.....
這種類型的積分存在封閉解。 可以透過by part求解
....
.....
結論：若 $C=0$，有封閉解。
情況二......
.......
.......
.......略
若C=\=無封閉解
如果您需要計算具體數值，建議使用 Python 或 MATLAB 進行數值積分。我可以為您提供
一個 Python 程式碼範用來計算這個積分的值。您需要嗎？
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