[其他] 無窮數列的盡頭是什麼？

看板Math作者ginstein (邁向學術之路)時間2月前 (2025/09/21 15:59)推噓5(5推 0噓 40→)

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「每個自然數都是有限大嗎？」一文中，證明了 {n} >_a N^m = {1, 2, ..., m-1, m, m, ...}，自然數數列終究大於所有的「有限」自然數生成數列。文中追問「自然數數列 {1, 2, 3, ...} 的盡頭是什麼？所有的有限自然數後是空了不存在嗎？還是存在無窮大自然數呢？」本文進一步明確問題意涵。首先區分三種無窮觀點，說明無窮概念的演進。第一種且稱「潛無窮」，例如由自然數 1, 2, ..., n 構成的有限數列，可用 {..., n} = {1, 2, ..., n} 強調末項，末項 n 無上界，可無限增加但 n 有限。第二種且稱「實無窮」，自然數數列 {n} = {1, 2, ..., n, ...} 包含了全部標準的、有限的自然數。第三種暫稱「超無窮」，是標準數學外的概念，為了對比標準數學，需要引入新的想法與符號比較異同。因為 {n} >_a N^m，「假設」{n} = {..., n, ... |} 的盡頭，可以延伸出、存在著暫稱為超自然數數列 {n^*} = {|..., n^*, ...}，兩者之合暫稱為全自然數數列 {n || n^*} = {..., n,... || ..., n^*,...}。符號 || (簡化時‘|’) 表示有限結界(有限屏障、有限壁壘， barrier of finiteness)，略過科學哲學討論。或可用非標準分析的超實數理解超自然數，但本文無須依賴外部理論，可邏輯自洽，略過形式化處理。由實數 x_1, x_2,..., x_n 構成的有限數列 {..., x_n} = {x_1, x_2, ..., x_n} 盡頭存在末項 x_n。標準數學實無窮數列 {x_n} = {..., x_n, ... ||ψ}，ψ 代表空項，數列盡頭「不存在」標準、有限分項外其它分項。基於思維慣性，人們傾向賦予數列盡頭一個數字。存在極限 x_∞ = lim x_n 時，可將數列完備為 {..., x_n, ... | x_∞ |ψ}，結界內是標準分項 x_n，結界上是極限 x_∞。極限不存在時稱發散。實無窮數列 {x_n} = {..., x_n, ... |} 的盡頭，不管斂散與否，「假設」可以延伸出、存在著超無窮數列 {x_{n^*}} = {| ..., x_{n^*}, ...}，且稱結界外 x_{n^*} 為超(無窮)分項。無窮數列的盡頭還是無窮數列，在結構上自我相似 (self-similarity)，概念上閉環。稱 {x_{n^*}} = Lim{x_n} 為「極量」，符號表明 {x_{n^*}} 由 {x_n} 延伸而來。數列收斂時，結界外 Lim{x_n} 投影落在結界上 lim x_n。數列可看成向量，其運算與關係透過對應項定義。本文用 x R y 表示數列 x = {x_n} 和數列 y = {y_n} 恆有關係 R，意即對標準自然數 n 恆有關係 x_n R y_n，例如 R 是 >，=，或 <。用 x R_a y 表示數列 x 和數列 y 終究有比較關係 R，意即存在標準自然數 N，當 n > N 時恆有 x_n R y_n。實數 r = {r}，x R_a r 等價 {x_n} R_a {r}。當 {x_n} R_a {y_n} 時有 Lim{x_n} R Lim{y_n}。觀察例一到例三，對比直覺、極限與極量的觀點異同。標準足標變數 n，超自然足標變數 n^*。例一：{n} = {1, 2,..., n,...} >_a N^m = {1, 2,..., m-1, m, m,...}。直覺：{1, 2,..., n,...} 的盡頭是無窮大自然數，大過全部有限自然數 m。極限：lim n = ∞ 發散到無窮大，分項 n 的極限不存在。極量：對全部標準(有限)自然數 m，Lim{n} = {n^*} > Lim{N^m} = m。例二：∀ ε > 0，0 < {1/(2^n)}={1/2, 1/4, 1/8, ...} <_a ε。直覺：{1/(2^n)} 的盡頭是正無窮小。一尺之棰，日取其半，萬世不竭。極限：lim 1/(2^n) = 0，分項 1/(2^n) 的極限是 0，不存在無窮小。極量：∀ ε > 0，0 < Lim{1/(2^n)} = {1/(2^{n^*})} < ε，可表示為 Lim{1/(2^n)} 例三：{1-0.1^n} = {0.9, 0.99, 0.999, ...} < {1} = 1。直覺：{0.9, 0.99, 0.999, ...} 的盡頭無限靠近 1，但恆小於 1。極限：lim (1-0.1^n) = 1，分項 1-0.1^n 的極限是 1。極量：Lim{1-0.1^n} = {1-0.1^{n^*}} ~ 1^-，Lim{1-0.1^n} < 1， a ~ b 等價 a - b ~ 0。無限符號 ∞ 曾被視為數字，可以在 \sum_{n=1}^∞ 和 \int_0^∞ 等符號中發現歷史痕跡。標準數學中 ∞ 不是數字。若 ∞ 是數字，例如令 S = 1 + 2 + 4 + ...，把左右式各減去 1， S - 1 = 2 + 4 + 8 + ... = 2(1+2+4+...) = 2S，會導致 ∞ = -1 的悖論。因為數字 ∞ 會導致矛盾，排除 ∞ 是數字，收斂必須是有限，禁止 x = ∞，使用 x → 0 或 x → ∞ 的潛無窮觀點。潛無窮無法完備極限，接受實無窮存在，才能完備實數。無窮大(小)極量是數值意義的無窮大(小)，可以代數操作。令 T = Lim{\sum_{k=0}^n 2^k} = Lim{1, 3, 7, 15, ...}， T-1 = Lim{\sum_{k=0}^n 2^k-1} = Lim{0, 2, 6, 14,...}， 2T = Lim{\sum_{k=0}^n 2^{k+1}} = Lim{2, 6, 14, ...}。把不同的無窮大極量 T-1 和 2T 視為相同，前述悖論主因是違反同一律，而非數值無窮大(小)造成。無窮大數列盡頭的想像之物 ∞，也曾用 1/∞ 表示無窮小，但會造成悖論，無法是數字。符號 ∞ 是思維慣性的盲點，時代的知見障嗎？用無窮數列去定義數值無窮，或許才合理。附註：極量定義在實數數列上，極量列的極量本文不討論，可使用合理限制下極量的極量概念，類似集合論合理限制集合的集合概念。無窮數列的盡頭可以存在極量，存在標準數學外的無窮數列嗎？是標準基礎內已經包含所有，標準外概念不存在(是空想嗎)？還是如數學家戴德金所說──數字是人類心靈的自由創造(是發明嗎)？或者是驀然回首，無窮卻在數列盡頭處(是發現嗎)？對於無窮數列的盡頭，你有什麼看法？ -- At the end, it never ends. -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 219.69.12.24 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1758441568.A.C7C.html

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