Re: [中學] 想問一題國二下的題目

看板Math作者arrenwu (最是清楚哇她咩)時間6月前 (2025/06/22 15:02)推噓4(4推 0噓 9→)

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※ 引述《kill801113 (醉落人間)》之銘言： : https://i.imgur.com/QXLwHls.jpeg

: 題目如圖，答案是A。 : 我的問題是我能理解為什麼答案是A : 不過解釋起來卻感覺沒有合理的定理 : 或者夠強大的條件 : 再麻煩各位版友了 : ----- : Sent from JPTT on my iPhone 令總路線長度 Z = OA + OB + OC + AB + BC + AC 並且令 Z1, Z2 ,Z3 分別代表路線1, 路線2, 路線3 的長度路線一長度 Z1 = OA + OB + AC + BC = Z - (AB + OC) 同理，Z2 = Z - (BC + OA) Z3 = Z - (AC + OB) 所以比 Z1, Z2, Z3 誰最長(路程最遠)，等於是在比 AB + OC, BC + OA, AC + OB 三個線段和誰最小？定理1： BC + OA > AB + OC 從題目敘述已知道 BC > AB，故我們可以在 BC上取一點 A' 使得 BA'=BA。連線段OA'可得到下圖： https://i.imgur.com/tOC9iLY.jpg

因為OB是角平分線，所以 ΔBOA 與 ΔBOA' 是 SAS全等，進一步得到 OA = OA' 接著我們開始推導： BC + OA - (AB + OC) = BA' + A'C + OA - (AB + OC) = (BA'-AB) + A'C + OA -OC = A'C + OA -OC = A'C + OA' - OC > 0 ( A'C, OA', OC 為三角形OCA' 的三邊長) 同樣地，你也可以證明 AC + OB > AB + OC 所以 AB + OC 最小，我們可得到路線1 最遠。 -- 角卷綿芽2025生日紀念套組 https://i.imgur.com/4GXBO53.jpg

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推

kill801113

06/22 19:16, 6月前 , 1^F

06/22 19:16, 1^F

其實我是用代數硬幹了好一大波、發現會用到兩邊和大於第三邊的性質後，才在想是不是綜合幾何的手段哪邊可以簡化性質

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musicbox810

06/23 13:02, 6月前 , 2^F

06/23 13:02, 2^F

令 D,E,F 分別為內心O到 BC, AC, AB 三邊的垂足 https://i.imgur.com/qZQWRc9.jpg

因為O是內心，所以O到三邊等距離。用 h表達該距離。然後令 x = AE = AF, y = BF= BD, z = CE = CD 可解得 x = (b+c-a)/2, y = (c+a-b)/2, z = (a+b-c)/2 現在 AB + OC, BC + OA, AC + OB 三邊的比較就變成 c + √(z^2+h^2) , a + √(x^2+h^2), b + √(y^2+h^2) 的比較然後證明 b > c => b + √(y^2+h^2) > c + √(z^2+h^2) 即可得到結論 ※ 編輯: arrenwu (98.45.195.96 美國), 06/23/2025 17:24:55

推

Vulpix

06/23 18:54, 6月前 , 3^F

06/23 18:54, 3^F

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musicbox810

06/23 19:13, 6月前 , 4^F

06/23 19:13, 4^F

推

ERT312

06/23 20:04, 6月前 , 5^F

06/23 20:04, 5^F