[幾何] 四維空間的突發奇想

看板Math作者 (sarsenwen)時間8月前 (2025/03/26 10:37), 8月前編輯推噓3(3推 0噓 55→)
留言58則, 5人參與, 8月前最新討論串1/1
https://i.imgur.com/uPciTEc.png
右上的1區 假設有一個三維球體殼 x^2+y^2+z^2=64 球心一直在z軸上沿著z軸移動 所以例如在z=6的平面上 假設此平面世界有個數學家 他描述這個物體 就只能用 x,y 這兩個變數 因為他還沒有z軸的概念 所以就是 0<(x^2+y^2)<64 一組隨著時間變大在變小的圓 而且這個圓是憑空出現而且消失 在三維空間來看 球體根本沒有消失 只是球體經過z=6平面 左邊的2區 假如有個四維球體殼 半徑也是8 因為四維具有四個自由度 多了m軸 m軸要跟x,y,z軸都垂直 所以無論如何都畫不出來 但還是能用四軸座標系統來表示此四維球的殼 x^2+y^2+z^2+m^2=64 然後雖然四軸座標系統畫不出來 但是在 m=0 的三維空間可以單獨畫出來 類似上面那個z=6平面 單獨從三維空間抽一個平面出來 這個四維球殼的球心沿著m軸移動 在球心移動到 -8>m>8 的區間 在m=0的三維空間的數學家會看到 一個球體殼憑空在原點出現 此球體殼半徑從0開始變大到最大值8 這時是四維球心也剛好停在m=0時 然後開始縮小直到消失 整個過程對應到四維球體殼的球心 從m=(-8)到m=8的移動過程 右下的3區 是在模擬從1維的視角 如何去看待3維的球體 因為跨了兩個維度 所以訊息丟失實在太大 三維球體的所有資訊 在經過z=6平面時 二維平面可以完全記錄下來 但是一維的不行 所以四維球體的所有資訊 可以在經過某一個三維空間中 被完整的紀錄下來 大概是這樣吧 總之就是很閒就對了XD -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 42.77.228.175 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1742956668.A.4A4.html
→
03/26 15:19, 8月前 , 1F
你用一系列的2維截面去描述3維的物體, 實際上不就
03/26 15:19, 1F
→
03/26 15:20, 8月前 , 2F
是用了3個參數嗎
03/26 15:20, 2F
→
03/26 15:23, 8月前 , 3F
第三個參數就是描述截面的變化的參數, 可以是時間或
03/26 15:23, 3F
→
03/26 15:24, 8月前 , 4F
截面的編號等等
03/26 15:24, 4F
→
03/26 19:49, 8月前 , 5F
那個z=6的平面 就只能用x,y 這兩個參數去描述平面上
03/26 19:49, 5F
→
03/26 19:50, 8月前 , 6F
的圓 所以還是兩個 其實是用來類推三維中出現的球體
03/26 19:50, 6F
→
03/26 19:54, 8月前 , 7F
用到第三個參數去描述圓的變化 是一種紀錄圓的資訊
03/26 19:54, 7F
→
03/26 19:54, 8月前 , 8F
的方式 但是這個參數 跟x,y軸這種在平面上或是空間
03/26 19:54, 8F
→
03/26 19:54, 8月前 , 9F
中表示位置的參數 有本質上的區別
03/26 19:54, 9F
→
03/26 20:02, 8月前 , 10F
同樣用了三個參數的意思舉例來說就是極座標跟直角
03/26 20:02, 10F
→
03/26 20:03, 8月前 , 11F
座標都一樣能表示平面上的東西，但一樣都是用了兩個
03/26 20:03, 11F
→
03/26 20:04, 8月前 , 12F
參數 通常幾維的東西就需要幾個維度（參數）表示
03/26 20:04, 12F
→
03/26 20:08, 8月前 , 13F
又例如把平面上的線段用參數t寫成參數式x(t)，你其
03/26 20:08, 13F
→
03/26 20:09, 8月前 , 14F
實就是用t跟x(.)這兩個東西去描述 你這篇所講的就
03/26 20:09, 14F
→
03/26 20:09, 8月前 , 15F
類似這樣
03/26 20:09, 15F
→
03/26 20:11, 8月前 , 16F
講線段有可能誤解，就說曲線吧
03/26 20:11, 16F
推
03/26 21:32, 8月前 , 17F
其實如果拿一條直線水平掃過xy平面的一個範圍（比
03/26 21:32, 17F
→
03/26 21:32, 8月前 , 18F
如x=-R到R)，然後每次向上移動一點點再掃一次，這
03/26 21:32, 18F
→
03/26 21:32, 8月前 , 19F
樣s型掃過整顆球，只要每次向上的step夠小，也可以
03/26 21:32, 19F
→
03/26 21:32, 8月前 , 20F
無限接近的用這條線上的長度的變化去記錄球的形狀
03/26 21:32, 20F
→
03/26 21:32, 8月前 , 21F
，這樣說起來是不是用一維也可以描述三維的資訊
03/26 21:32, 21F
→
03/26 22:00, 8月前 , 22F
我還可以再修改一下,用平行z軸的直線, 直線跟xy平面
03/26 22:00, 22F
→
03/26 22:00, 8月前 , 23F
的交點沿著x=sin(t), y=sin(根號2 t) 移動, 這樣
03/26 22:00, 23F
→
03/26 22:02, 8月前 , 24F
直線就會經過 x=-1~1, y=-1~1 矩形內的每一點
03/26 22:02, 24F
→
03/26 22:03, 8月前 , 25F
那就可以用這條直線上的變化去描述整個柱體內的3D
03/26 22:03, 25F
→
03/26 22:03, 8月前 , 26F
資訊
03/26 22:03, 26F
推
03/27 08:16, 8月前 , 27F
而且既然R^n跟R^1可以1-1對應，那任何n維空間的函
03/27 08:16, 27F
→
03/27 08:16, 8月前 , 28F
數，應該都可以把n維空間的定義域對應到數線上的點
03/27 08:16, 28F
→
03/27 08:16, 8月前 , 29F
，變成一維函數
03/27 08:16, 29F
→
03/27 17:02, 8月前 , 30F
二維平面是利用 類似積分的方式 紀錄下三維物體體
03/27 17:02, 30F
→
03/27 17:02, 8月前 , 31F
經過平面時 所截的圓 因為平面是兩個自由度無限延
03/27 17:02, 31F
→
03/27 17:02, 8月前 , 32F
伸 所以三維的物體 只要經過這個負責紀錄的二維平
03/27 17:02, 32F
→
03/27 17:02, 8月前 , 33F
面 內部每一個點 都會被紀錄下來 很像在做斷層掃描
03/27 17:02, 33F
→
03/27 17:02, 8月前 , 34F
。 一維的線雖然也無限延伸 但是只能紀錄下切過這
03/27 17:02, 34F
→
03/27 17:02, 8月前 , 35F
個球體的圓 類似拿鋼線剖開一個西瓜 鋼線紀錄到的
03/27 17:02, 35F
→
03/27 17:02, 8月前 , 36F
是剖面上每一個點 所以三維物體對於一維來說 只經
03/27 17:02, 36F
→
03/27 17:02, 8月前 , 37F
過一次的話 訊息無法被完整紀錄下來 但是經過二維
03/27 17:02, 37F
→
03/27 17:02, 8月前 , 38F
平面 只需要一次就夠了
03/27 17:02, 38F
→
03/27 17:02, 8月前 , 39F
然後用這個概念 推廣到四維物體 四維物體 經過某一
03/27 17:02, 39F
→
03/27 17:02, 8月前 , 40F
個三維空間時 四維物體所有的資訊 在三維空間中 被
03/27 17:02, 40F
→
03/27 17:02, 8月前 , 41F
完整的紀錄下來 相當於用三維空間 對四維物體做斷
03/27 17:02, 41F
→
03/27 17:02, 8月前 , 42F
層掃描 但是二維平面 對於四維來說少了兩個維度 所
03/27 17:02, 42F
→
03/27 17:02, 8月前 , 43F
以只能紀錄類似西瓜剖面的部分訊息 這應該也是在人
03/27 17:02, 43F
→
03/27 17:02, 8月前 , 44F
類很難想象四維物體的原因 因為人類的視覺 本質是
03/27 17:02, 44F
→
03/27 17:02, 8月前 , 45F
二維的 視網膜是一個曲面 曲面展開就是二維的 用紙
03/27 17:02, 45F
→
03/27 17:02, 8月前 , 46F
顯示器等也都是一個平面
03/27 17:02, 46F
→
03/27 17:13, 8月前 , 47F
如果四維生物存在的話 同時他們也會做斷層掃描的話
03/27 17:13, 47F
→
03/27 17:13, 8月前 , 48F
每一張照片就是三維的影像吧
03/27 17:13, 48F
→
03/27 17:20, 8月前 , 49F
我還想到一個很有趣的概念 就是二維世界如果發展電
03/27 17:20, 49F
→
03/27 17:20, 8月前 , 50F
磁學 在一個平面上 有一個平行x軸往x軸正向移動
03/27 17:20, 50F
→
03/27 17:20, 8月前 , 51F
的正電荷 經過一個平行y軸正方向的磁場 這個正電荷
03/27 17:20, 51F
→
03/27 17:20, 8月前 , 52F
受到有z軸方向的洛倫茲力 離開這個平面 但因為此平
03/27 17:20, 52F
→
03/27 17:20, 8月前 , 53F
面物理學家 沒有z軸的概念 所以他們的電磁學定律就
03/27 17:20, 53F
→
03/27 17:20, 8月前 , 54F
是 “正電荷經過有垂直其移動方向的磁場時 此正電
03/27 17:20, 54F
→
03/27 17:20, 8月前 , 55F
荷會消失” XD
03/27 17:20, 55F
https://i.imgur.com/LMtjzzV.png
這張圖展示了 左邊是 2維的人想幫助1維的人理解圓的概念 但是1維的人 只有一個自由度 前or後 所以難想像 於是2維的人就把 一段線 "彎曲" 成一個圓 這個1維的人 就能在這個圓周上 "體驗" 一下2維的世界 就是他一直往同一個方向移動 會一直回到原來的點 這在他原本的一維世界是不會發生的現象 在這個圓上 他可以朝同一個方向移動無限遠 相當於繞無限多圈 中間是3維的人想幫助2維的人理解圓球的概念 但是2維的人 只有2個自由度 前後or左右 所以難想像 於是3維的人就把 一塊平面 "彎曲" 成一個圓球 這個2維的人 就能在這個圓球表面(曲面)上 "體驗" 一下3維的世界 就是他一直往不管朝任何方向一直前進 都會回到原來的點 這在他原本的二維世界是不會發生的現象 在這個圓球表面(曲面)上 他可以朝同一個方向移動無限遠 但就是無法離開這個3維空間中的曲面 右邊就是4維的？想幫助3維的人理解超球體的概念 但是3維的人 只有3個自由度 前後or左右or上下 所以難想像 於是4維的？就把 一部分的空間 "彎曲" 成一個4維空間中的超球體 這個3維的人 就能在這個超球體的超表面上 "體驗" 一下4維的世界 (這裡還是維持3維的人的視角 因為4維空間我不知道怎麼表示了) 就是他一直往同一個方向飛 都會飛回到原本的位置 這在他原本的三維世界是不會發生的現象 因為他是在超球體的超表面上 超表面是三維空間 是具有體積的 三維的人就可以在這個奇特的"彎曲"空間中一直任意飛 如果4維的？沒有幫忙他移回原本的正常空間　 三維的人永遠飛不出這個超表面　 不過如果這個超表面足夠大 例如 1維的人在一個足夠大的圓周上移動 他還沒走到原本的點就往回走 2維的人在一個足夠大的球面上移動 他還沒走到原本的位置就更改方向 3維的人在一個足夠大的超表面上移動 他還沒飛到原本的區域就更改方向 這些維度的人 都不會發現自己的世界 從高維來看是被"彎曲"過的 ※ 編輯: sarsenwen (1.200.83.36 臺灣), 03/29/2025 09:10:34
→
03/31 16:09, 8月前 , 56F
除了一維的都會發現，因為高斯曲率不一樣
03/31 16:09, 56F
推
03/31 16:31, 8月前 , 57F
這個其實是分辨的出來的，簡單講一個辦法，向量沿
03/31 16:31, 57F
→
03/31 16:31, 8月前 , 58F
著封閉曲線平移
03/31 16:31, 58F
‣ 更多 sarsenwen 的文章
文章代碼(AID): #1dusXyIa (Math)