Re: [中學] 奧林匹克競賽題

看板Math作者cuteSquirrel (可愛的小松鼠)時間3周前 (2024/04/09 21:53)推噓1(1推 0噓 2→)

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用輔助三角形、邊角關係、三角全等性質、正弦定理、餘弦定理來解 https://i.imgur.com/y6iEMDx.png

畫輔助正三角形ACE，角ACE = 角CAE = 角AEC = 60度原本題目給兩等邊夾一角DAB = 60度，所以三角形ABD也是一個比較小的正三角。角DAC + 角CAB = 60度 (來自藍色小正三角形) 角CAB + 角BAE = 60度 (來自橘色大正三角形) 兩式相消，得到角DAC = 角BAE 由三角形SAS性質可知道邊AD = 邊AB 邊AC = 邊AE 角DAC = 角BAE 推得三角形 ADC 等於三角形ABE ========================================== 令角ACB = ? 則角BCE = 60度-? 且角ACD = 30度-? 又因為剛剛已經知道三角形 ADC 等於三角形ABE 所以角AEB = 30度 - ? =========================================== 再根據大正三角的性質角AEB + 角BEC = 60度 30度 - ? + 角BEC = 60度推得角BCE = 30度 + ? =========================================== 已知任意三角形內角和必需等於180度對於三角形BCE而言: 角BCE + 角BEC + 角CBE = 180度 60-? + 30 + ? + 角CBE = 180 90 + 角BCE = 180 角BCE = 90 剛好垂直現在知道三角形BCE是直角三角形邊BE = 6 來自於等價三角型的性質邊CE = 10 來自於輔助的大正三角型邊長邊BC = 8 由畢氏定理求出。 ============================================= 接著，由餘弦定理求出關係式假設小全等三角邊長 = 邊 BD = x x^2 = 邊CD^2 + 邊BC^2 - 2 *邊CD *邊BC * cos 30度不要真的去開根號，知道x^2就夠了。四邊形ABCD面積 = 全等三角形ABD面積 + 已知兩邊夾一角三角形BCD面積從正弦定理來計算 = 1/2 * 邊AD * 邊AB * sin60度 + 1/2 * 邊CD * 邊BC * sin30度 = 1/2 * x^2 * sin60度 + 1/2 * 6 * 8 * sin30度 ※ 引述《waynan (小胖子)》之銘言： : 求解: : 四邊形ABCD中，AB=AD，CD=6，AC=10， : ∠DAB=60° ∠BCD=30°，求四邊形ABCD的面積。 : 原題及附圖 : https://upload.cc/i1/2024/04/09/gtv7Lj.jpg