Re: [中學] 轉移矩陣機率

看板Math作者mantour (朱子)時間2月前 (2024/02/22 23:38)推噓1(1推 0噓 8→)

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※ 引述《s89180 (Derekingdom)》之銘言： : 請教各位：此題感覺可以利用轉移矩陣算出，P能夠算出來，但P'結果不如我所想，為何 : 這裡不能用轉移矩陣呢？ : https://i.imgur.com/u4gLZNP.jpg

: 下圖為解答 : https://i.imgur.com/2XeYxyi.jpg

: 我有確認轉移矩陣的定義： : https://highscope.ch.ntu.edu.tw/wordpress/?p=51085 : 此題為111學測第五題 : 謝謝大家題目要算的是 "已知篩檢n次結果為陰性者，事實上為染病者的條件機率" 假設第n次篩檢前, 染病機率為Pn-1, 未染病的機率為 Qn-1 = 1 - Pn-1 知道篩檢結果為陰性後, 染病的條件機率為Pn, 未染病的條件機率為Qn = 1-Pn 利用貝式定理, 可得 Pn = Pn-1 * 0.2 / (Pn-1 * 0.2 + Qn-1 * 0.6) ......(E1) Qn = Qn-1 * 0.6 / (Pn-1 * 0.2 + Qn-1 * 0.6) ......(E2) 由上式可知 (Pn-1,Qn-1) -> (Pn, Qn) 並不是一個線性關係因此也就無法寫成轉移矩陣這裡可以直接疊代 (P0, Q0) = (0.3, 0.7) => (P1,Q1) = (0.125,0.875) => (P2,Q2) = (0.0455,0.955) => (P3,Q3) = (0.0156,0.984) P1/P3 ~ 8 但是 !!!! 其實(E1)和(E2)可以很容易改寫成線性的疊代關係令 On = Pn/Qn, 稱為陰性n次後為感染者的Odds (中譯: 發生比 or 勝算) 則 (E1) / (E2) 即可得 On = 0.2/0.6 On-1 = 1/3 On-1 = (0.3/0.7) * (1/3)^n O1 = 1/7 => P1 = O1/(1+O1) = 1/8 O3 = 1/63 => P3 = O3/(1+O3) = 1/64 => P1/P3 = 8 這裡你會發現每多篩出一次陰性, 為感染者的Odds就變為知道檢驗結果前的 0.2/0.6倍而0.2/0.6 就是感染者和非感染者在單次檢驗中被驗出為陰性的機率的比值這個比值叫做這個檢驗的陰性蓋似比 (negative likelihood ratio) 同理可以得到每多篩出一次陽性為感染者的Odds就會變成知道檢驗結果前的 0.8/0.4 = 2 倍, 這就是這個檢驗的陽性蓋似比 (positive likelihood ratio) 引入odds和likelihood ratio的好處是可以很容易的算出以下問題的答案: 如果人群中感染者的比率是30%, 有一個人驗出陰陽陰陽陰, 那他為感染者的機率是多少 ? 利用Odds和likelihood ratio 我們可以先求出他為感染者的 odds 為 0.3/0.7 * (1/3)^3 * 2^2 = 4/63 而他是感染者的機率就是 4/63 / (1+4/63) = 4/67 = 0.0597 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 220.137.26.23 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1708616291.A.FA3.html ※ 編輯: mantour (220.137.26.23 臺灣), 02/22/2024 23:39:16 ※ 編輯: mantour (220.137.26.23 臺灣), 02/22/2024 23:40:48 ※ 編輯: mantour (220.137.26.23 臺灣), 02/22/2024 23:42:37 ※ 編輯: mantour (220.137.26.23 臺灣), 02/22/2024 23:42:55 ※ 編輯: mantour (220.137.26.23 臺灣), 02/22/2024 23:50:13 ※ 編輯: mantour (220.137.26.23 臺灣), 02/22/2024 23:50:55 ※ 編輯: mantour (220.137.26.23 臺灣), 02/22/2024 23:51:58

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