Re: [線代] SVD特徵值與線性轉換
※ 引述《hexjacal (黑麻糬)》之銘言：
: 標題: [線代] SVD特徵值與線性轉換
: 時間: Sun Dec 17 16:36:31 2023
:
: 各位大大~
: 最近在閱讀隨機過程的論文
: Gökdere, G., & Tony Ng, H. K. (2022). Time-dependent reliability analysis
: for repairable consecutive-k-out-of-n: F system. Statistical Theory and
: Related Fields, 6(2), 139-147.
: 看到了一個跟SVD還有線性轉換有關的概念
:
: 假設 T, Q 都是 3x3 方陣，已知
: (1) Q 的最後一個橫列全0
: (2) Q 奇異值分解後 Q = U*S*V，其中S是對角特徵值矩陣 diag(s[1],s[2],0)
: (3) T 矩陣是時間變數 t 的函數，滿足 dT/dt=T*Q
:
: 作者在 Section 3. Proposed method 中
: 根據 (3) 推知 T=exp(Qt)=exp(U*S*Vt) 說了一句
: consider the linear transformation of
: 3-dimensional vectors defined by matrix Q
: 就接
: 「T 矩陣的元素 Tij 可以表示成 a0+a1*exp(s[1]t)+a2*exp(s[2]t) 的形式」
:
: 個人不解的是，從 SVD 分解之後，是怎麼得到「...」裡面的推論結果的?
: 個人不是很清楚，希望有先進可以解惑，感謝~
:
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: ※ 編輯: hexjacal (140.113.58.95 臺灣), 12/19/2023 15:33:47
: 推 xxxl1 : 主要看Q有沒有辦法對角化吧 12/19 17:23
去找了這篇paper來看, 超級怪
https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/24754269.2021.1971489
(1) T(t)=exp(Qt) 是 dT(t)/dt=Q*T(t) 的解, 並不是paper中的dT(t)/dt=T(t)*Q的解
這邊我先當他可交換或是其實就是dT(t)/dt=Q*T(t)
再來其實dT(t)/dt=Q*T(t)的通解是T(t) = exp(Qt)*C, some C€M_nxn(R)
(你這篇的n=3), 其中C由初始值決定. paper直接當作C=I, 單位矩陣, 這也先不管
(2) 他把Q做SVD並不能把T(t)=exp(Qt)寫成你原問作的形式, 要有這形式是需要可對角化
即若Q可對角化, 存在可逆P使得P^-1*Q*P = D, diagonal matrix
則T(t)=exp(Qt)= P*exp(Dt)*P^-1, 其中exp(Dt)展開就是那個漂亮的形式
若不可對角化則是用Jordan form, 但是一旦不可對角化, 寫出來的解形式
就會是(c_0+c_1*t+...)*exp(λt)這種形式, 即變數t會到exp外面
不可能是你原問中的漂亮形式
因此我懷疑他的Q是可對角化, 但是看一下他的條件跟例子, Q都是上三角
但是上三角並沒有保證可對角化,
而且Q也不是實對稱矩陣, 也因此不能保證可對角化
(3) 看他的實際Q例子, 5x5的矩陣Q, λ=0.5, μ=1.5那個
他說σ_1~σ_4是非零的eigenvlaue.......
可是他上面明明說是SVD的singular value...
注意SVD的值叫作singular value, 對角化的值叫作eigenvalue
阿到底是singular還是eigen...
注意到sigular value非負, 但是他的σ_1~σ_4全部都是負的....
再假設他把整個SVD的singular value都成以負號
我直接用計算軟體看這個Q矩陣的singular跟eigen, 沒有一組數字是他paper這組...
https://i.imgur.com/cfmj7Or.png
總之, 要馬我key錯數字(我檢查三次了), 但是即便我key錯, 上述(1)跟(2)還是有問題
因此要馬他寫錯, 要馬就是有其他假設跟我不知道的定理
如果有正確推導再請原PO分享
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