Re: 請教大大一題高中數學
: 第一選項除外，其他選項，可否請大大們指點一下，謝謝
這個題目的敘述讓人很困擾
f(x^2)=0有二個絕對值小於1的有理根，
是指f(x^2)=0的根中，屬於有理根且絕對值小於1的根，
「就只有」2個而已，還是至少有2個？
不管最後證明兩種敘述可以導出相同結果，
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都不應該作為沒把題目出得清清楚楚的藉口。
若x是f(x) = 0的根，則+-√x也會是f(x^2)=0的根
(i)
如果題目是f(x^2)=0「就只有」2個 絕對值小於1並且是有理數 的根
可知這兩個根必為相反數且均為有理根 => 存在一個滿足f(x)=0且小於1的正根
這時一般人會寫f(x)=0有一個小於1的正有理根
(可是這時就沒人會理解上句為f(x)就只有一個小於1的正有理根)
(ii)
如果題目是f(x^2)=0有(至少、存在)2個 絕對值小於1並且是有理數 的根
則可能有這兩根絕對值不同的狀況，
這種狀況保證至少有4個絕對值小於1且都為有理數的根
但是這樣會導致存在二個滿足f(x)=0且小於1的正根，並且另有一實數根
從題目的敘述知道(i)(ii)都保證f(x)至少有1個小於1的正根r，且是某有理根的平方
設f(x)有三根r, b, c，-rbc = 1/2
如果f(x)=0有一實二虛根，-r|b|^2 = 1/2 => r < 0矛盾
所以f(x)=0必有三實根 => bc < 0
=> f(x)=0有二正根一負根 => f(x^2)=0有二正二負二虛根 => (2)正確
(3)錯誤，必須(p,q) = 1，否則隨意擴分，p很容易不整除12...
(4)因為r是某絕對值小於1的有理數的平方，從f(x)可能的一次因式找起
r就只有1/4的可能 => f(1/4) = 0 => a = 4, -11/2
但a = -11/2代入a^2 + a + 3非整數，不合 => a = 4 => (4)對
=> f(x) = 12x^3 + 25x^2 - 31x + 6 = (4x - 1)(3x - 2)(x + 3) => (5)錯
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推
06/14 22:09,
11月前
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06/14 22:09, 1F
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