[線代] 離散摺積算子的值域直和
請教一個離散摺積算子的問題, 定義與敘述如下:
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令 Z是整數集合
F=R or C, R是實數集合, C是複數集合
W:={x_n:Z→F│x_n has compact support}
δ_n是delta數列, 只在n=0為1, 其他為0
a€W, T:W→W defined by T(x):=a＊x, ＊是摺積
則 (1) T is onto <=> a_n = c*δ_(n-d) for some c!=0 and d€Z, for all n€Z
(2) If T isn't onto
Find explicit subpsace S s.t. W = T(W)⊕S
P.S. (1)自己已證
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用語言描述一下這個問題:
(a) W是收集所有只有有限項有值的數列
(b) 任給a€W, 都可以定義摺積算子T(x):=a＊x, 而且值都在W內, 因此T:W→W良好定義
而已經證出T打滿整個W的話 等價於 a只能在某一點有非零值, 即a_n=c*δ_(n-d), c!=0
因此, 我想問的是當不能打滿時, 能不能把W寫成值域T(W)與某個顯式S的直和
原本朝著想要找出T(W)的顯式後, 能給我一些S的靈感, 但是寫不出
目前我只證出如果T不是onto, 則T一定打不到delta函數
即 If T isn't onto
Then c*δ_(n-d) not in T(W) for all c!=0 and d€Z
再請板友幫忙, 謝謝！
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