[中學] 排組的問題
不好意思，又想請教大家一題數學問題，
有附上我的想法，但需要板上朋友們幫忙。
有m個（m大於等於2）不同的球，以及n個(n大於等於2)不同的球袋，
把球全部分裝到球袋裡後，
有多少種情形是「有至少兩個球被分到同一個球袋裡」？
（假設題目是m個相同的球分到n個不同的球袋，就可以用重複組合H的公式，
可是這題是不同的球和不同的球袋，還能有公式嗎？）
我目前是用具體的數字來想，然後想到這個題目可能要分兩種情況來想，
第一種是球比球袋多時:
假設有三個不同的球和兩個不同的球袋，這時有(3,0)和(2,1)兩種情況
因為球和球袋都不同，所以(3,0)時有兩種分法
(2,1)時有(C3取2)*(C2取1)＝6種分法，所以總共就是8種分法
另一種想法是，因為不管怎麼分，都一定會有兩顆球被裝到同一個袋子裡，
所以也就是全部的分法：2^3 (每個球都有兩個球袋的選擇)
第二種是球比球袋少時：
假設兩個不同的球和三個不同的球袋：
因為要算至少有兩顆球被分到同個球袋裡，
所以就只能從三個球袋裡選一個裝兩顆球
(C3取1）= 3 種分法
但因為數字太小，所以又增加一點變成
六顆不同的球分到四個不同的球袋裡，這時也因為球比較多，
不管怎麼分都會有袋子裝至少兩顆球
也就是全部隨便沒有限制的分法：4^6
但假設四顆不同的球要分到六個不同的袋子裡，
而且最少有兩個球分到同一個袋子裡的情況就有很多種：
(這裡開始就有點不太確定了...)
我是列出各種狀況：
(2, 1, 1, 0, 0, 0) => 其中一個袋子裝兩顆，另外兩個袋子各裝一顆
但因為球跟袋子都不一樣，所以:
(C6取1)*(C4取2)*(C5取1)*(C2取1)*(C4取1)*(C1取1)=1440
從6個袋子取一個乘上從4顆球裡取2顆...依此類推，請問是這樣嗎？
(2, 2, 0, 0, 0, 0)
(C6取1)*(C4取2)*(C5取1)*(C2取2)=180
(3, 1, 0, 0, 0, 0)
(C6取1)*(C4取3)*(C5取1)*(C1取1)=120
(4, 0, 0, 0, 0, 0)=>其中一個袋子裝四顆球，所以就有(C6取1)=6種情況
所以共有1746種情況
但回到問題本身，所以如果m個不同的球和n個不同的球袋，
有多少種情況是至少有兩顆球被分到同一個球袋裡？
如果m>n的話，應該就是n^m？
但如果n>m時，都不知道數字的狀況下，要怎麼列出不同的情況再加以計算呢？
希望能幫忙解惑一下，謝謝！
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 36.238.134.9 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1665667936.A.78C.html
推
10/13 22:03,
3年前
, 1F
10/13 22:03, 1F
→
10/13 22:03,
3年前
, 2F
10/13 22:03, 2F
→
10/13 22:03,
3年前
, 3F
10/13 22:03, 3F
→
10/13 22:03,
3年前
, 4F
10/13 22:03, 4F
→
10/13 22:08,
3年前
, 5F
10/13 22:08, 5F
→
10/13 22:08,
3年前
, 6F
10/13 22:08, 6F
→
10/13 22:08,
3年前
, 7F
10/13 22:08, 7F
→
10/13 22:09,
3年前
, 8F
10/13 22:09, 8F
→
10/13 22:09,
3年前
, 9F
10/13 22:09, 9F
→
10/13 23:56,
3年前
, 10F
10/13 23:56, 10F
→
10/13 23:58,
3年前
, 11F
10/13 23:58, 11F
→
10/13 23:58,
3年前
, 12F
10/13 23:58, 12F
→
10/13 23:59,
3年前
, 13F
10/13 23:59, 13F
→
10/14 00:00,
3年前
, 14F
10/14 00:00, 14F
討論串 (同標題文章)