Re: [中學] abc的可能範圍
※ 引述《emptie ([ ])》之銘言:
: 標題: Re: [中學] abc的可能範圍
: 時間: Wed May 18 16:50:12 2022
:
: ※ 引述《TOMOHISA (YAMASHITA)》之銘言:
: : 三正數 a+b+c=1 且 任一數不大於另一數的兩倍
: : 求 三數乘積 abc 的可能範圍?
:
: 不失一般性
: 假設 a≧b≧c
: 由算幾不等式知道abc最大值發生在a=b=c=1/3的時候,此時abc=1/27
:
: 任一數不大於另一數的兩倍
: 所以
: 2c≧a
: 2b≧a
:
: 3a≧a+b+c ≧ a+a/2+a/2 = 2a
: 得到a的範圍 1/2≧ a ≧1/3
:
:
: 為什麼極值不會發生在三角形內部?
: https://i.imgur.com/3weDXwz.png
: 這是函數 z=xy(1-x-y)
: 的圖形
: 應該也可以用偏微分檢定去證明x=y=1/3是唯一的臨界點
: 然後再把頂點代入看看極值在哪
:
: 只是我在想,這樣好像繞了一大圈
: 不知道有沒有比較簡單的想法來切入這題
如果要堅持不用微積分也是可以的。
從 2c≧a≧b≧c 繼續下去,一樣先從固定某個屬於 [1/3,1/2] 的 a 著手。
所以 2c≧a≧1-a-c≧c => (1-a)/2≧c≧max(a/2,1-2a)
問題出在不知道 a/2 和 1-2a 哪個比較大,那就分成兩個情況。
i) a/2≧1-2a
此時 2/5≦a≦1/2
並且為了讓 bc 最小,要把 b 和 c 拆得越開越好。
所以 min bc = (1-3a/2)a/2,括弧裡就是拆最開的時候的 b。
當 a 固定在 [2/5,1/2] 其中的某數時,abc 的最小值是 (1-3a/2)a^2/2。
ii) a/2≦1-2a
此時 1/3≦a≦2/5 而 min bc = a(1-2a),拆最開的時候 b=a。
當 a 固定在 [1/3,2/5] 其中的某數時,abc 的最小值是 a^2*(1-2a)。
如果要用微積分,那就不用看下去,直接用一階檢定把最小值找出來。
先從比較好說明的 a^2*(1-2a) 來,
這個三次函數的對稱中心在 a=1/6,而且 a=0 是極小點。
所以由對稱性知道 a=1/3 是極大點,並且在 [1/3,2/5] 上嚴格遞減。
那自然當 a 在 [1/3,2/5] 中,abc 的最小值發生在 a=2/5。
再來是 (1-3a/2)a^2/2,對稱中心在 2/9,而且 a=0 一樣是極小點。
所以由對稱性知道 a=4/9 是極大點,
並且在 [4/9,1/2] 上嚴格遞減、在 [2/5,4/9] 上嚴格遞增。
代入 2/5 得 4/125,代入 1/2 得 1/32。
1/32 比較小,是最小值。
不過如果要用微積分,那一開始就把可行解區域找出來,
然後在內部找臨界點,在邊界上另外參數化找極值,這樣就好。
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