[其他] 線性遞迴方程 解的行為

看板Math作者 (QQ)時間2年前 (2022/04/28 16:03), 2年前編輯推噓3(3推 0噓 9→)
留言12則, 1人參與, 2年前最新討論串1/1
想請問下列遞迴方程式是否有解的分類與規律: ------------------------------------------------------------- 令 x_n為一實數列, n>=0 y_(-1), y_(-2),..., y_(-N) 為N個初始值 a_1, a_2,..., a_N 為N個實數, a_N != 0 定義遞迴關係式 y_n = (Σ_{k=1~N} a_k*y_(n-k) ) + x_n, n>=0 想請問有沒有關於 怎樣的a_k與x_n的條件 會導致 y_n有怎樣的行為, 特別是n→∞時的行為 或是條件更強一點, 加入" x_n = 0 for n>=M, some M " 會有更好的結果嗎? (我是做實驗時發現n很大時感覺y_n會趨近週期函數, 不知道是特例還是怎樣) ------------------------------------------------------------- 因為是工作上遇到的, 對於推導不太要求, 想知道有沒有確定的分類 目前嘗試寫成矩陣的方式, 可是得不到什麼定性的結論: (A^t代表A的transpose, "*"只是乘法而已) 令 Y_n:=[y_n, y_(n-1),..., y_(n-N+1)]^t X_n:=[x_n, 0, ..., 0]^t [a_1, a_2, ..., a_(N-1), a_N] [ 1 , 0 , ..., 0 , 0 ] A :=[ 0 , 1 , ..., 0 , 0 ] [ ..........................] [ 0 , 0 , ..., 1, , 0 ] 則 Y_n = A*Y_(n-1) + X_n, n>=0 一直拆下去可以得到, Y_n = Σ_{k=0~n} A^(n-k)*X_k 之後把A對角化(只要a_N != 0都可以對角化)得到 A = P*D*P^(-1), P可逆 代回去得到 Y_n = P*(Σ_{k=0~n} D^(n-k)*P^(-1)*X_k), n>=0 我就卡在這了, 即便討論一些eigenvalue的值也得不出什麼結果 (把P過來Y_n這邊後又導致了y_n被汙染了, 拿不到y_n) 或是加入更強條件" x_n = 0 for n>=M, some M ", 我們得到了: Y_n = P*(Σ_{k=0~M} D^(n-k)*P^(-1)*X_k), n>=M 此時summation只有到M, 所以只要所有eigenvalue的絕對值都<1, 那Y_n就收斂到0 但是這個case是trivial的 可是如果只有某些eigenvalue的絕對值<1, 我又得不到什麼結果 最後回想到碩班ODE的一階線性微分方程也是寫成類似的形式 然後就能藉由eigenvalue去分類解會: (1) 發散到無窮 / 收斂到一點 / 在某個有界區域迴繞 (2) 軌跡是橢圓 / 軌跡是值線 所以覺得原題目(ODE的離散化?)應該也會有相應的結果吧@@? 只是好幾年沒碰這些了, 只剩些印象... 再請板友們幫忙, 謝謝~ ----------------------------------------------------------------- <Update> 線代啟示錄網站有寫關於x_n = q_n * s^n, q_n是多項式的情形 因此general的x_n應該不可能歸類了 只是我工作遇到的x_n有compact support, 應該還是有機會(? -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 1.164.101.117 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1651132986.A.52A.html
推
04/28 18:31, 2年前 , 1F
Um, 數列的 compact support?
04/28 18:31, 1F
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04/28 18:31, 2年前 , 2F
你是想講只有有限個 n 有非零 x_n?
04/28 18:31, 2F
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04/28 18:32, 2年前 , 3F
(就是你中間的 " x_n = 0 for n>=M, some M ")
04/28 18:32, 3F
推
04/28 18:36, 2年前 , 4F
是說啦, 如果只有有限項 x_n 非零, 要探討 n→∞ 時
04/28 18:36, 4F
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04/28 18:37, 2年前 , 5F
的行為的話就只看 x_n 是 0 的「最後區域」就好
04/28 18:37, 5F
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04/28 18:37, 2年前 , 6F
那這其實就成了齊次線性遞迴, 一般的理論就能用了
04/28 18:37, 6F
嗨L大, 我剛剛邊騎機車邊想時突然發現改變一下初始值就變成原本的case了XDDD 耍笨了 如果x_n=0 for all n>=M, 那考慮y_n, n>=M就像你說的是其次線性了@@ 另外請問一下齊次線性的解有什麼分類討論嗎? 就像我文中說的ODE會討論解的有界/無界, 收斂/發散...這些行為 比如 y_n = a_1*y_(n-1) + a_2*y_(n-2) + a_3*y_(n-3) 我是想知道有沒有可能存在a_1,a_2,a_3跟初始值y_0, y_1,y_2 使得當n→∞時, y_n趨近於週期數列(即來回震盪), 但是又不要y_n = (-1)^n這種極端的 比如y_n = -1, -1/2, 0, 1/2, 1, 1/2, 0, -1/2, -1.... 目前證出: 當只有a_1,a_2兩個係數時, 不可能 (2x2矩陣的對角矩陣很容易得證) 而且一直造例子發現如果y_n震盪都會是(-1)^n這種一上一下, 不會有中間態的情形... 謝謝回答~ ※ 編輯: znmkhxrw (59.102.225.191 臺灣), 04/28/2022 21:11:17
推
04/28 23:09, 2年前 , 7F
齊次線性遞迴去看它的特徵方程
04/28 23:09, 7F
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04/28 23:10, 2年前 , 8F
它的解會跟特徵方程的根有關
04/28 23:10, 8F
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04/28 23:10, 2年前 , 9F
在沒有重根的狀況會是以其根為底的指數之線性組合
04/28 23:10, 9F
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04/28 23:15, 2年前 , 10F
那如果根出現複根, 經過一些複數的推導之後
04/28 23:15, 10F
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04/28 23:16, 2年前 , 11F
(尤拉公式與棣美弗) 會得到 cos 與 sin 表示的結果
04/28 23:16, 11F
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04/28 23:16, 2年前 , 12F
這就能解釋你觀察到某些狀況的震盪性了
04/28 23:16, 12F
喔喔喔!!! 想起來了, 難怪我一直用實根做實驗都不會有中間態的震盪 謝謝~~~ ※ 編輯: znmkhxrw (59.102.225.191 臺灣), 04/28/2022 23:33:24 ※ 編輯: znmkhxrw (59.102.225.191 臺灣), 04/28/2022 23:33:44
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