Re: [微積] 黎曼和取極限難題！

看板Math作者Vulpix (Sebastian)時間3年前 (2022/01/13 03:44)推噓3(3推 0噓 6→)

留言9則, 3人參與討論串2/2 (看更多)

※ 引述《mars0804 (風中一枝草)》之銘言： : https://i.imgur.com/N1GfAaY.jpg

: 想詢問這兩題如何使用黎曼和計算？ : 代入後會發現並不是特殊級數可代公式， : 請問能怎麼解？首先，黎曼和不是只有「上和」、「下和」。（至少這兩題都是閉區間上的連續函數，所以上下和都是黎曼和。）更何況用上下和算積分的方式是所謂的達布積分，並非黎曼積分的本意。黎曼和裡面有兩種可以頗隨便的東西：分割、每一段的代表點。（即使是達布的上下和在分割上也一樣自由。）我猜你應該是用了等距分割，然後代表點也直接用左端點或右端點。這樣剛好是一些上下和，但這些上下和很難算出精確值。所以不是改變分割就是改變代表，或者全都改。以下都用第一題當例子。這類型的題目可以選用等比分割。把 1 到 2 的這段區間，用 2^(1/n)、2^(2/n)、2^(3/n) 等數字切開。代表的話，可以繼續用左右端點去寫，都是一些等比級數，算完取極限就好。用左端點得到上和 = Σ_{k=1}^{n} {2^(k/n)-2^[(k-1)/n]}/2^(3k/n) 用右端點得到下和 = Σ_{k=1}^{n} {2^(k/n)-2^[(k-1)/n]}/2^[3(k-1)/n] 或者不對分割設限。用 1 = x_0 < x_1 < x_2 < x_3 < ... < x_n = 2 來分割。在每一段 x_{k-1} 和 x_k 之間，以 [2*x_{k-1}^2*x_k^2/(x_{k-1}+x_k)]^(1/3) 為代表。驗證他真的介於 x_{k-1} 和 x_k 之間是必須的。驗證完之後，剩下的加法就只是一個分項對消的過程而已。而且取極限的過程可以免去，因為這樣只會算出 3/8 而已。黎曼和的定義之所以寫得那麼難用，是因為對於不同的被積函數，有不同的好用分割和好用代表。而黎曼和的定義為了兼容並蓄，就長得不好算了。可是一旦知道他背後的想法，就知道黎曼和在計算上的意義： 1. 先用其他各種定理確認黎曼積分存在。例如：閉區間上的連續函數可積分。 2. 「挑」一些黎曼和來算，而且不管最長段多小都要有挑到對應的分割方式。 3. 把黎曼和的極限算出來。因為第二步驟是用挑的，所以這些黎曼和應該都會很好算。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 163.13.112.58 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1642016696.A.EB8.html

推

alan23273850

01/13 09:28, 3年前 , 1^F

01/13 09:28, 1^F

→

alan23273850

01/13 09:28, 3年前 , 2^F

01/13 09:28, 2^F

→

Vulpix

01/13 10:32, 3年前 , 3^F

01/13 10:32, 3^F