[中學] 一題恆等式

看板Math作者 (QQ)時間2年前 (2021/11/11 01:59), 2年前編輯推噓3(3推 0噓 10→)
留言13則, 4人參與, 2年前最新討論串1/1
想請問一下對於任何正整數N, 為什麼下列式子恆成立: N-1 k+1 Σ (-1)^k * C(N+1, k+1) * (1-───)^N = 1 k=0 N+1 ============================================== 不符合二項式定理的形式後我怎麼試都湊不出來QQ (1-(k+1)/(N+1))^N 找不到方法拆出來... 謝謝幫忙! -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 59.102.225.191 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1636567171.A.4F9.html
推
11/11 11:46, 2年前 , 1F
把 N 次方拆成 k 次方和 N-k 次方。
11/11 11:46, 1F
我有想過 (x+y)^n = Σ_{k=0~n} C(n,k) * x^k * y^(n-k) = Σ_{k=0~n} C(n,k) * (x/y)^k * y^n 但是今天y裡面有k就很怪, 不能套二項式定理 可是除了這個目前沒其他想法@@
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11/11 14:09, 2年前 , 2F
若Σ補上k=-1，則總和即為0； 經變數變換可得
11/11 14:09, 2F
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11/11 14:12, 2年前 , 3F
Σ{h=0~M}*C(M,h)*h^(M-1)=0
11/11 14:12, 3F
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11/11 14:13, 2年前 , 4F
更正：Σ{h=0~M} (-1)^h * C(M,h) * h^(M-1)=0
11/11 14:13, 4F
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11/11 14:14, 2年前 , 5F
若能證明上式即可推得原式
11/11 14:14, 5F
怎麼證明上式...我怎麼對這個恆等式沒印象QQ
推
11/11 16:55, 2年前 , 6F
喔對吔。那試試看用N+1和N相減怎麼樣？
11/11 16:55, 6F
V大是指哪項減哪項阿@@?
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11/11 17:50, 2年前 , 7F
我發現h的次方那一項，只要次數小於M都會對
11/11 17:50, 7F
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11/11 17:50, 2年前 , 8F
如果次數為零次就跟二項式定理一樣
11/11 17:50, 8F
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11/11 17:51, 2年前 , 9F
但次數大於零的情況，我也還沒找到相關的證明@@
11/11 17:51, 9F
是喔! 那這個性質應該可以得到一些蛛絲馬跡 而且我發現n太大時不能用desmos網頁數學模擬XD 你的 Σ{h=0~M} (-1)^h * C(M,h) * h^(M-1)=0 在M=15時就超過雙精度的範圍了 跑出了非0的結果, 所以我一開始以為這個式子是錯的 後來用python對於int可以不受限於64位元才保證確實你的式子是對的XD
推
11/11 18:10, 2年前 , 10F
樓上要證的好像能這樣?
11/11 18:10, 10F
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11/11 18:10, 2年前 , 11F
11/11 18:10, 11F
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11/11 18:20, 2年前 , 12F
L大說的好像就是多項式在等間隔點上的關係式
11/11 18:20, 12F
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11/11 18:24, 2年前 , 13F
不知道z大在哪邊看到這一條恆等式的
11/11 18:24, 13F
我目前努力的方向跟L那個好像有關係, 算是結合L大跟p大的結果: For any n>=2 n Let h_m(x) := Σ (-1)^k * C(n,k) * (k+x)^m, for all 1<=m<=n-1 k=0 Then h_m(x) = 0 for all x€R 也就是說, p大的case是x=0的情形, 但是其實all x€R都對 而這個結果讓我可以用微分, 因此 h_m'(x) = m*h_(m-1)(x) 因此才說跟L大的reference很像 @m大: 幫朋友的朋友算抽卡期望值所發現的XDDDDD ------------------------------------------------------ (整理出要證明的東西了) <Theorem> Let n>=1,m >=0, both integers n define h_m(x) := Σ (-1)^k * C(n,k) * (k+x)^m, x€R k=0 Then (1) 0<=m<=n-1: h_m(x) = 0 for all x€R (2) m=n: h_m(x) = const != 0 for all x€R (3) m>n: h_m(x) is a polynomial of degree m-n ------------------------------------------------------- 不過剛剛研究了一下發現<Theorem>的成立依賴於h_m(0)的值.... ------------------------------------------------------- 最後發現general form是 n h_m(x,y) := Σ C(n,k) * (k+y)^m * x^k, where x, y€R k=0 <Theorem>只是x=-1的特例, 而要解這個問題就一直微分就好了 ※ 編輯: znmkhxrw (61.231.71.68 臺灣), 11/12/2021 15:56:36
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