Re: [中學] 一題三角極值
: 怎麼處理較好@@"
f(x) = 2 sqrt(3) sin(x)cos(x) + cos^2(x) - sin^2(x) + sqrt(3)sin(x)
- cos(x)
現在不好疊合, 我們考慮湊成完全平方:
猜長成這樣 -(a*cos(x) + b*sin(x) + c)^2
這邊重要的係數在 sin(x)cos(x), sin(x), cos(x) 三項, 因為 cos^2(x), sin^(x)
還可以用平方關係替換掉. 因此展開之後觀察此三項係數:
(-2ab) sin(x)cos(x) + (-2ac) cos(x) + (-2bc) sin(x)
係數比
ab:ac:bc = -2sqrt(3) : 1 : sqrt(3) = (1/c):(1/b):(1/a)
再與原式比較係數解得 a=(-1), b=sqrt(3), c=(-1/2)
實際展開
-[-cos(x)+sqrt(3)sin(x)-1/2]^2
= f(x) - 2(cos^2(x)+sin^2(x)) - 1/4 = f(x) - 9/4
因此有 f(x) = -[-cos(x)+sqrt(3)sin(x)-1/2]^2 + 9/4
此時再考慮疊合
f(x) = -4[(1/2)cos(x)-sqrt(3)/2 * sin(x) + 1/4]^2 + 9/4
f(x) = -4[cos(x+Pi/3)+1/4]^2 + 9/4
當 cos(x+Pi/3) = -1/4 時, f(x) 有最大值 9/4.
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單選題：世界地圖為什麼不能畫在紙上？
(1) 我想到了一個巧妙的畫法，可惜紙太小了畫不下。
(2) 根據高斯無上定理 (THEOREMA EGREGIUM)。
(3) 可參考尤拉究極公式 (Extremal Formula)。
(4) 由幾何大定理所推得 (Fundamental Theorem of Geometry)。
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