[線代] adjoint證明

看板Math作者 (敲敲)時間2年前 (2021/09/10 11:42), 2年前編輯推噓10(10推 0噓 24→)
留言34則, 4人參與, 2年前最新討論串1/1
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請問在證明中，為什麼要在g(x)之外再定義一個h(x)呢？ 得出g=h又代表什麼呢？ 我猜是證出「有存在於V的y，使得對於所有存在於V的x，g(x)=<x,y>皆成立」吧， 但為什麼呢？ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 111.251.34.178 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1631245333.A.1E4.html
推
09/10 12:05, 2年前 , 1F
h不是必要的，你可以把課本上的h去掉重新改寫看看。
09/10 12:05, 1F
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09/10 12:06, 2年前 , 2F
看你覺得有h在會比較好整理(排版或脈絡兩者都可以考
09/10 12:06, 2F
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09/10 12:07, 2年前 , 3F
慮看看)，或是h不在的情況比較方便。
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09/10 12:13, 2年前 , 4F
我看莊重老師的課，是純用g(x)證出，還蠻直觀好理解
09/10 12:13, 4F
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09/10 12:14, 2年前 , 5F
書上另設h(x)的證法就不懂了...
09/10 12:14, 5F
推
09/10 12:33, 2年前 , 6F
我看起來是因為他先強調 h 是個線性變換，然後引了
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09/10 12:33, 2年前 , 7F
Theorem 2.6 這個只有對線性變換成立的定理
09/10 12:33, 7F
請問我原本的猜測是不是錯誤的呢？ 因為使所有在V的x滿足g(x)=<x,y>的y，在證明第2行就出現了， 即y=Σg(vi)vi 註：g(vi)上面的bar打不出來， 但這樣一來，g=h又是要證什麼？ 是在說給定y，於V的任意x皆滿足<x,y>的函數，是唯一的嗎？沒有其他函數會符合？ 如果是的話，這怎麼好像在定理的描述中沒有出現？ 因為它是在說函數唯一，不是在說y唯一， 定理描述的「存在y」在第一、二行證出；「唯一的y」在倒數第一、二行證出， 好像該證的部分都證完了，不知道證存在唯一的函數是在證哪個部分？ ※ 編輯: museangel (111.251.34.178 臺灣), 09/10/2021 14:01:35
推
09/10 17:19, 2年前 , 8F
我們換個角度好了：如果是你，你會怎麼書寫這個
09/10 17:19, 8F
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09/10 17:20, 2年前 , 9F
Theorem 6.8 數學證明？
09/10 17:20, 9F
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09/10 17:20, 2年前 , 10F
說不定你寫出來，跟他的寫法一樣啊
09/10 17:20, 10F
書上的證明一開始就讓y =Σg￣(Vi)Vi (g￣(Vi)代表g(Vi)加bar)， 我覺得有兩種狀況： 1.作者覺得前面證明太簡單就忽略直接跳到這步驟？ 前面被省略的步驟，如果我來證，就會是g(x)=g(ΣAiVi)=g(Σ<x,Vi>Vi) =Σ<x,Vi>g(Vi)=<x,Σg￣(Vi)Vi>，令y=Σg￣(Vi)Vi， 證出確實有y可使所有x滿足g(x)=<x,y>， 也就是作者一開始出發的地方。 但從這角度來看，會讓我困惑作者後來另設h(x)=<x,y>，證出g=h，要做什麼？ 怎麼不在證出y存在後，直接接著證y的唯一性就好呢？ 2.作者直接用定理的結論？ 作者直接把待證的g(x) =<x,y>搬來用，即假定有y滿足使所有x能讓g(x)=<x,y>成立， 所以g￣(x)=<y,x>， y=ΣAiVi=Σ<y,Vi>Vi=Σg￣(Vi)Vi，即作者一開始出發的地方。 然後另外設h(x)=<x,y>，將y用Σg￣(Vi)Vi代換等等過程，最後得出g=h， 但證出g=h是在說明有y滿足使所有x能讓g(x)=<x,y>的假定成立嗎？ 感覺又找不出兩者的關聯… ========================== 如果是我來證明，會用1的方式(扣除另設h(x)一直到h=g的部分)， 應該跟書上的寫法不一樣， 所以想了解是不是我只證y存在跟y唯一會漏證什麼定理有描述到的東西， 就算沒有漏證，也會想知道作者寫的內容是什麼… ※ 編輯: museangel (111.251.34.178 臺灣), 09/10/2021 19:17:06
推
09/10 19:13, 2年前 , 11F
你上面那個1.的寫法並不是一個證明過程吧
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09/10 19:15, 2年前 , 12F
你第一步想做的證明是"令y=Σg￣(Vi)Vi, 對於任意在
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09/10 19:17, 2年前 , 13F
V裡面的向量x，g(x) = <x,y>"
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09/10 19:18, 2年前 , 14F
現在你已經定義出一個y，接著就是證明"對於任意x，
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09/10 19:18, 2年前 , 15F
g(x) = <x,y> " 你打算怎麼說明呢？
09/10 19:18, 15F
但我不懂怎麼知道要把y定義成這樣子？ 因為感覺y=Σg￣(Vi)Vi不太直觀，應該是從什麼推出來再定義的？ 是像前面說的2.用定理結論來直接定義的嗎？還是像1.省略了什麼步驟？ 如果已定義y=Σg￣(Vi)Vi，我不需要去管y這定義怎麼來的話， 要我證明「對於任意x， g(x) = <x,y>」，則： 因已定義y=Σg￣(Vi)Vi，所以我的目標希望最後能得出g(x)=<x,Σg￣(Vi)Vi> 因x屬於V，用V的orthonormal basis來寫可寫成Σ<x,Vi>Vi， 所以g(x)=g(Σ<x,Vi>Vi)=Σ<x,Vi>g(Vi)=<x,Σg￣(Vi)Vi>=<x,y> 所以得證。 而且也依然沒有另外定義h，不知道h要做什麼... ※ 編輯: museangel (111.251.34.178 臺灣), 09/10/2021 20:47:52
推
09/11 01:12, 2年前 , 16F
先定義y是因為你要證明存在一個y滿足需求
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09/11 01:14, 2年前 , 17F
你的證明沒有問題。只不過我不太確定 x =Σ<x,Vi>Vi
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09/11 01:14, 2年前 , 18F
在那本書裡面是不是一個定理
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09/11 01:15, 2年前 , 19F
如果是的話可能要引。
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推
09/11 04:01, 2年前 , 20F
就算要證也只是一行解決的東西吧，畢竟是basis。
09/11 04:01, 20F
推
09/11 04:33, 2年前 , 21F
h的意義是名字。取名只是為了方便，這個證明很短而
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09/11 04:34, 2年前 , 22F
且h出現的次數太少，加上h的定義式也太短，所以h的
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09/11 04:35, 2年前 , 23F
必要程度很低。可是有些東西你不取個名字，寫起來會
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09/11 04:36, 2年前 , 24F
相當瘋狂。另外一個用途就是整理版面，天書是書，不
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09/11 04:37, 2年前 , 25F
像板書是一個字一個字寫出來可以讓你跟著老師的思緒
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09/11 04:38, 2年前 , 26F
走。有些時候書上寫的東西看起來很跳躍，所以才定義
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09/11 04:39, 2年前 , 27F
一個名字給他。
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推
09/11 11:22, 2年前 , 28F
因為要證唯一
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推
09/11 12:14, 2年前 , 29F
唯一性是挑x=y-y'用positivity證的。
09/11 12:14, 29F
重新整理一下我的想法，理解上還是有一些矛盾： {{{定義一個h(x)=<x,y>， h(x)一開始就長成<x,y>的樣子，不像g(x)是不是能寫成<x,y>都還不確定， 即g(x)可寫成<x,y>是待證的， 設y=Σg￣(Vi)Vi， h(Vj)=<Vj,y>=<Vj,Σg￣(Vi)Vi>=Σg￣(Vi)<Vj,Vi>=g(Vj) 1<=j<=n，所以h=g，g(x)=h(x)=<x,y>，因此g可以寫成<x,y>的形式。}}}---@0式 原本我以為我只對h理解有困難， 但我發現理解有困難的部分不單純是在另設h，還包括y用了什麼來定義， 因為「設y=Σg￣(Vi)Vi」---@1式 跟「不知道g(x)是不是能寫成<x,y>」---@2式 @1式跟@2式之間好像概念上有衝突？ 如果我沒理解錯的話，@1式會這麼定義，是因為認定g(x)本來就可以寫成<x,y>的形式， 即：透過基於這個認定的一連串推導，才定義出@1式 (推導內容：y在V中所以可用orthonomal basis寫成Σ<y,Vi>Vi， 而因認定g(x)=<x,y>，故g￣(x)=<y,x>， 因此y=Σg￣(Vi)Vi，即導出y的定義) @1式的認定就跟@2式衝突，一個是可以寫成<x,y>形式，一個是不知能否寫成<x,y>形式， 這個衝突就造成既然@1知道y可以讓g(x)就寫成<x,y>的形式， 那把@1式跟@2式的概念通通塞進@0式， 「g(x)本來就可以寫成<x,y>，所以寫出設y=Σg￣(Vi)Vi的式子」 「h(x)一開始就長成<x,y>的樣子，不像g(x)是不是能寫成<x,y>都還不確定， 即g(x)可寫成<x,y>是待證的」 變成「把待證的概念當作已知事實，去證待證概念自己是對的」這種循環論證的狀況。 我不知道我是哪裡理解出錯了，變成把@1式跟@2式塞進@0式，會有這麼奇怪的問題。 ※ 編輯: museangel (111.251.22.20 臺灣), 09/11/2021 12:20:35
推
09/11 12:42, 2年前 , 30F
「@1的『推導』不要寫出來！」你這段要寫的話，箭
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09/11 12:42, 2年前 , 31F
頭都是反過來的。那就只是推@2的過程。打破循環的
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09/11 12:42, 2年前 , 32F
方法之一就是封殺其中一個方向，單行道是不會循環
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09/11 12:42, 2年前 , 33F
的。
09/11 12:42, 33F
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09/11 12:42, 2年前 , 34F
最後，不要站內信，我不會回的。
09/11 12:42, 34F
好XD 謝謝V大跟a大， V大說的封殺一個方向讓我獲益良多， 我有時候會在「定義看起來有點複雜，不那麼直觀，想更清楚看懂它在說什麼」的時候， 回頭推導它的起點，然後就跟結論撞在一起， 想說「繞了一圈，我的假設怎麼變成結論了」，那我證出什麼東西呀？ 今天知道了，以後會避免這種情況XD ※ 編輯: museangel (111.251.22.20 臺灣), 09/11/2021 13:41:14
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