[幾何] 直角三角形的性質

看板Math作者 (伊之助 = 一隻豬 =幾家滴)時間4年前 (2021/08/09 17:21), 編輯推噓3(3推 0噓 44→)
留言47則, 4人參與, 4年前最新討論串1/1
直角三角形，一定有一個角度是無理數的度數，要不然一定有一個邊長是無理數。是不是這樣？試證或反證，如果證明不難的話，也方便提供，謝謝。 ----- Sent from JPTT on my iPhone -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 1.171.71.156 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1628500912.A.EFE.html
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08/09 17:42, 4年前 , 1F
三角形中有理角只有0度跟45度跟90度有有理正弦值
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08/09 17:43, 4年前 , 2F
另外也只有0度跟90度有有理正切值
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08/09 17:46, 4年前 , 3F
*是0度30度跟90度
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08/09 17:47, 4年前 , 4F
有有理正弦， 正切是0度跟45度
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08/09 17:50, 4年前 , 5F
因為是有理角θ，所以存在m,n使得mθ=nπ
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08/09 17:51, 4年前 , 6F
我指的是不是正弦值，而是三個邊長其一或者三個角度
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其一（2度是有理度數，但是根號2度就不是有理度數）
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，例如邊長是3, 4, 5的三角形，三邊長有理，但是角
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08/09 17:51, 4年前 , 9F
度並非90, 53, 37而是90, 53.1…, 36.8…據說也是無
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理角度
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08/09 17:52, 4年前 , 11F
然後用棣美弗跟有理根判別法找怎樣會有有理根
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正弦值就是邊長比
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邊長比如果有無理數，函數值就會是無理數
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推
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it is hard to prove if the angle is expressed as
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degree. However, once the angle is expressed as
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所以只有正切跟正弦值都同時為有理數的角度才符合
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radian, it can be provable.
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不用弧度
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08/09 17:55, 4年前 , 19F
我記得有在數學傳播看過
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08/09 17:57, 4年前 , 20F
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08/09 18:08, 4年前 , 21F
0度因爲直角三角形劃不出來，先不算，但是45度的90,
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45, 45度數的三角形，正弦值是（根號2）/2，正弦值
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是無理數啊，所以不是反例
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我下面有訂正是30度啊
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08/09 18:11, 4年前 , 25F
問題是正切只有45度是有理，所以除了0度之外沒有
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08/09 18:12, 4年前 , 26F
兩個值同時是有理數的度數 i.e.沒有這種三角形
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推
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I got it. Originally, my approach is using the f
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act that tan(x) is irrational when x is rational
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to arrive the contradiction. That is why I insi
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st on the radian expression.
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其實我印象中就是有這樣一個題目，先出弧度再出角度
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08/09 18:22, 4年前 , 32F
弧度比較簡單，角度就要靠這個有理根判定法
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不過我忘了是什麼競賽題還是哪個資優班之類的題目了
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08/09 18:32, 4年前 , 34F
如果我沒誤解Rice大的意思，這個題目的猜想應該是成
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立的（0度角除外）
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就不存在兩組數值全都有理數的直角三角形
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08/09 18:47, 4年前 , 37F
我題目沒有寫好，應該不要用邊長，而要說排除0度和9
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0度的正弦跟正切值其中有一個是無理數，要不然三個
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角，其中有一個是無理角度
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那沒差，就同樣意思而已
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推
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整數度數好做，也才45個，有理數度數比較搞剛吧。
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08/09 19:37, 4年前 , 42F
不過這個作法應該可以快一點：直角三角形三邊長如果
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都是正整數，那比例一定是 (1-p^2):2p:(1+p^2)。其
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08/09 19:39, 4年前 , 44F
中一角(不妨稱為2α)的正切值tan2α=2p/(1-p^2)，
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08/09 19:40, 4年前 , 45F
所以tanα=p。剛剛忘了說p是正有理數。所以這個問題
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08/09 19:41, 4年前 , 46F
等同於問 y=tan(x°) 上的有理點。
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08/09 19:42, 4年前 , 47F
其中 x°是銳角的半角，所以 0<x<45。
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