Re: [中學] 關於不等式問題

看板Math作者alan23273850 (God of Computer Science)時間4年前 (2021/03/10 19:59)推噓0(0推 0噓 9→)

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※ 引述《csy0504 (csy)》之銘言： : 各位大師好， : 想請教一題不等式問題，看了題目很像不難卻不知從何下手，只能po上來跟各位求救了~~~感謝~~~ : http://i.imgur.com/ts3yAdh.jpg

: （上面寫的答案不一定是正確答案） : ----- : Sent from JPTT on my Google Pixel 3a XL. (x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2 + 2(xy+yz+zx) ... by 乘法公式所以 2(xy+yz+zx) = (x+y+z)^2 - (x^2+y^2+z^2) = (x+y+z)^2 - 6(x+y+z) ... by 本題限制式 = ( (x+y+z) - 3 )^2 - 9 故當 x+y+z=3 (很難算但必定存在) 時有最小值 -9/2. 要說明必定存在，可以試著把 x 和 y 用 z 去表示，也就是 (1) x + y = 3 - z (2) x^2 + y^2 = 18 - z^2 由上面兩式可以推得 xy = [(3-z)^2 - (18-z^2)]/2 = (2z^2-6z-9) / 2，故 x 和 y 必定為 t^2 + (z-3)t + (2z^2-6z-9)/2 = 0 的兩根，根據公式解為 2t = (3-z) +/- \sqrt((z-3)^2-2(2z^2-6z-9)) = 3-z +/- \sqrt(-3z^2+6z+27) 2t = 3-z +/- \sqrt(-3(z-1)^2 + 30) 讓 z=1，那麼 2t = 2 +/- \sqrt(30)，所以此時 x = 1 + \sqrt(7.5) y = 1 - \sqrt(7.5). 確定是一組解。題外話，看到上面的解法才發現可以稍微用猜的，先假設 x = y = z = 1，再動態調整讓 x = 1 + d，y = 1 - d，那麼 x^2 + y^2 = 2(1+d^2) = 17，也能得到 d=\sqrt(7.5) 要找最大值，可知要盡量讓 x+y+z 遠離 3，那麼如何得知 x+y+z 的上限？根據柯西不等式： (x^2+y^2+z^2) * (1^2+1^2+1^2) >= (x+y+z)^2 6(x+y+z) * 3 >= (x+y+z)^2 ... by 本題限制式 0 >= (x+y+z)^2 - 18(x+y+z) 81 >= (x+y+z-9)^2 由此可知 x+y+z 只能落在 0 到 18 之間，最遠離 3 的話只能挑 18，很剛好地此時 x = y = z = 6 也是有解的，最大值便為 108。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 123.194.139.84 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1615377543.A.0B8.html

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Poincare

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cmrafsts

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alan23273850

03/11 10:19, 4年前 , 3^F

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