[分析] 構造level curve的技巧兩問

看板Math作者 (QQ)時間3年前 (2020/10/22 23:41), 3年前編輯推噓4(4推 0噓 39→)
留言43則, 2人參與, 3年前最新討論串1/1
請問一下任給一個R^2中的曲線r(t):R→R^2 有沒有什麼構造函數的技巧r(t)是某個在R^2上的光滑函數的level curve (如果不加光滑當然就很簡單, 直接分段定義就好) 會問這個問題是因為以下兩個問題我都沒有什麼邏輯化的思維去構造, 只能亂湊 ---------------------------------------------------------------------- (1) 令r(t) = ((e^(-t))cost,(e^(-t))sint) (一直往中心靠近的螺旋) 是否存在光滑函數f:R^2→R使得 {(x,y):f(x,y)=0} = range of r (2) 構造一個光滑函數f:R^2→R使得存在兩個數p!=q 讓{(x,y):f(x,y)=p}與{(x,y):f(x,y)=q}一者有界level curve一者無界level curve 目前知道f(x,y)如果取二維bump function是可以的 但是bump function的無界的level set並不是curve的形狀 所以想問是否有其他例子讓level set都是curve且同時有界跟無界的情形發生 P.S. 有找到一個定理說如果是convex function則不可能有界與無界同時發生 謝謝幫忙~ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 123.110.132.77 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1603381299.A.BF0.html
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10/23 00:59, 3年前 , 1F
關於第2點 將bump function建在一個不陡的斜坡上(例
10/23 00:59, 1F
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10/23 01:00, 3年前 , 2F
如加上g(x,y)=arctan(x)) 使得bump function的山頭
10/23 01:00, 2F
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10/23 01:01, 3年前 , 3F
高於斜坡就好了
10/23 01:01, 3F
感恩 我試試看 看邊界處是否光滑
推
10/23 01:43, 3年前 , 4F
一定要延拓到整個R^2嗎？不然
10/23 01:43, 4F
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10/23 01:44, 3年前 , 5F
x=√(x^2+y^2)*cos(ln√(x^2+y^2)) 應該可以。
10/23 01:44, 5F
最初會想限制R^2是因為不想要定義域是有界 當然R^2少了一個點也是無界的 只是考慮到 有些函數可能在R^2有Liouville性質 所以乾脆限制在R^2當作最廣的反例
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10/23 02:25, 3年前 , 6F
如果將V大的函數乘於exp(-1/(x^2+y^2))應該就能包含
10/23 02:25, 6F
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10/23 02:25, 3年前 , 7F
原點了
10/23 02:25, 7F
cut-off函數真的很好用XD 最初不想用分段函數去接就是還要處理邊界光滑性 我再微微看0點是否光滑 謝謝
推
10/23 06:18, 3年前 , 8F
糟糕XD這個函數是y的偶函數，會增根……
10/23 06:18, 8F
增根會怎樣嗎 晚點畫畫看 謝嚕
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10/23 10:51, 3年前 , 9F
V大的問題應該可以用變形V大的解法解決 考慮f(x,y)=
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10/23 10:53, 3年前 , 10F
{x-√(x^2+y^2)*cos(ln√(x^2+y^2))}^2 + {y-
10/23 10:53, 10F
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10/23 10:54, 3年前 , 11F
√(x^2+y^2)*sin(ln√(x^2+y^2))}^2
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10/23 10:57, 3年前 , 12F
[10/23 01:01] ??? C^∞是線性空間 相加自然是C^∞
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10/23 11:00, 3年前 , 13F
[10/23 02:25]所以原PO本來是不希望用到條件函數是
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10/23 11:01, 3年前 , 14F
嗎? 可是bump function就是條件函數 冏
10/23 11:01, 14F
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10/23 11:04, 3年前 , 15F
而且如果只想用基礎函數去湊出來而不分條件 基本上
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10/23 11:07, 3年前 , 16F
就是想找一個解析函數 而不僅僅只是光滑函數 但
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10/23 11:09, 3年前 , 17F
(0,0)偏偏是zero set的極限點 雖然不是很確定 不過
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10/23 11:11, 3年前 , 18F
我感覺應該不太可能
10/23 11:11, 18F
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10/23 11:20, 3年前 , 19F
[10/23 01:44]"...在R^2有Liouville性質" 不是很懂
10/23 11:20, 19F
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10/23 11:22, 3年前 , 20F
原PO在顧慮什麼特別的東西 harmonic, comformal
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10/23 11:24, 3年前 , 21F
mapping, antiderivatives? 不過都跟原問題無關(?)
10/23 11:24, 21F
推
10/23 11:36, 3年前 , 22F
感覺他可能真的是比較關注調和函數。
10/23 11:36, 22F
不好意思沒打的很清楚, 我重敘述一次: (U是R^2子集合) (1) 最初想找f:U->R然後同時存在有界與無界的level set, 而f如果沒給連續性的話很容 易刻意造, 因此加入光滑這個條件 (2) U如果有界的話那所有level set都是有界的, 所以乾脆考慮最廣的例子R^2, 而我會 提到Liouville是因為之前學調和函數時很容易差一個點就導致函數整體變成常數, 所以 當V大提出U=R^2-{(0,0)}的反例時我就表達一下為什麼我想要整個R^2的原因, 不過不重 要就是了XD (3) 我說最初不考慮分段函數是因為我還要證明接點是光滑有點麻煩, 卻忘記有bump fun ction這個標準例子幫你接好了, 可惜的是這個例子的無界level set並不是level curve, 晚上我再check h大用bump function加上arctan的想法 (4) 目前確實跟conformal, harmonic這些無關, 純粹是對於以前看到那麼多level curve 的形狀都很規律(全有界或全無界)才想說有無同時有界與無界的反例 (5) V大你最初那個"x=√(x^2+y^2)*cos(ln√(x^2+y^2))"是指"f(x,y)=√(x^2+y^2)*cos (ln√(x^2+y^2)-x"嗎? 即便不考慮原點, 我畫f(x,y)=p圖後對 於每個p的level set都是無界的耶 (6) 最後問一下h, V大你們是怎麼想這些造法的? 我都覺得我在亂湊XDDD
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10/23 16:08, 3年前 , 23F
V大的答案是回答你原文章內第一個問題 不是第二個
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10/23 16:11, 3年前 , 24F
冏 然後你提到調和函數很容易變成常數函數 這是你已
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10/23 16:13, 3年前 , 25F
經提前要求Δf=0 可是大部份的光滑函數都不是調和函
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10/23 16:15, 3年前 , 26F
數 冏 你check bump function加上arctan時 記得將
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10/23 16:17, 3年前 , 27F
bump function乘上一個夠大的數 以確保山頭超過
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10/23 16:18, 3年前 , 28F
arctan的高度
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10/23 16:24, 3年前 , 29F
我第一個答案就是湊出來的 純粹就是為了逃避convex
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10/23 16:28, 3年前 , 30F
然後我上面提到 你的原文章內的第一個問題 "要湊一
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10/23 16:29, 3年前 , 31F
個解析函數"是不可能的 這是可以證的 就假設有一個
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10/23 16:31, 3年前 , 32F
這樣的f(x,y)定義在R^2好了 那f(x,mx)和f(0,y)都會
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10/23 16:32, 3年前 , 33F
是解析函數 並且零根的集合是有limit point的 故全
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10/23 16:34, 3年前 , 34F
部為0
10/23 16:34, 34F
謝謝h大回覆, 我晚上整理與畫圖後統整如下, 再請h大V大幫忙check一下: 1. 原題(2)的level curve例子確實用bump function加上任何一個有高度上限的光滑 函數g(x)都可以令 f(x,y) = p*bump(x,y) + g(x), where p*e^(-1) > sup|g| 而g(x)=arctan(x)就是你造的例子 只是確實要寫出證明有點困難XDD 因為很難寫出顯式 不過目前畫圖覺得對就先對了 2. 原題(1)的例子在原始V大的例子 f(x,y) = x-√(x^2+y^2)*cos(ln√(x^2+y^2)) 在考慮f(x,y)=0時確實快接近了, 就差y增根跟原點光滑性, 其中y增根可以用 {x-√(x^2+y^2)*cos(ln√(x^2+y^2))}^2 + {y-√(x^2+y^2)*sin(ln√(x^2+y^2))}^2 來解決, 而原點問題可以藉由乘上e^(-1/(x^2+y^2))解決 3. V大想出原題(2)的函數是否就是去解 x = cos(t)e^(-t), y = sin(t)e^(-t) 然後再去把t全部消掉(平方和blabla)? 如果不是的話是怎麼想到的呢? 4. 關於原題(1), 若有一個解析函數f:R^2→R在r(t)上恆為0, 那確實藉由考慮f(x,mx) 亦為解析函數的情況下, 會有f(x,mx)=0 for all m,x, 那就推得f恆為0 而此處用到的兩個性質為: (a) 單變數解析函數若在開連通的定義域中有0聚點那就會導致整體為0 (雙變數以上就沒有這性質, 不然有level curve的解析函數就全掛了) (b) 若f(x,y)為雙變數解析函數 則f(x,mx)為單變數解析函數 謝謝回答~ ※ 編輯: znmkhxrw (123.110.132.77 臺灣), 10/24/2020 01:58:47
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10/24 10:06, 3年前 , 35F
1.>>>只需在我們關心的等高線上用隱函數定理證明它
10/24 10:06, 35F
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10/24 10:07, 3年前 , 36F
的確是一維的就行了
10/24 10:07, 36F
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10/24 10:09, 3年前 , 37F
2.>>>還是要嚴格證一下在原點的光滑性
10/24 10:09, 37F
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10/24 10:13, 3年前 , 38F
4.>>>差不多就這樣
10/24 10:13, 38F
推
10/24 11:18, 3年前 , 39F
3.>>>就是消去t。
10/24 11:18, 39F
以上謝謝回答~感恩^^ 另外最後一個問題是h大回的第一點, 我想問的證明是同時存在"有界跟無界"的level cur ve(是1維curve就如同你說的用隱函數證), 在還沒加斜坡時的原始bump function可以很 好寫出各level set的顯式而去說明他有界與無界, 但是加上斜坡時整個函數歪掉了, 高 於斜坡的level set也是變成一個歪圓, 不知道有甚麼方法可是繞過寫出顯式證明有無界 性質, 謝謝! ※ 編輯: znmkhxrw (114.137.42.48 臺灣), 10/24/2020 13:07:21
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10/24 15:43, 3年前 , 40F
假設bump funciton高於50好了 則20的等高線只會發生
10/24 15:43, 40F
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10/24 15:45, 3年前 , 41F
原本bump funciton非零的地方 故有界
10/24 15:45, 41F
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10/24 15:47, 3年前 , 42F
而arctan(-100)的等高線圖和bump function無關 就是
10/24 15:47, 42F
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10/24 15:48, 3年前 , 43F
一條直線
10/24 15:48, 43F
了解了!! 謝謝~ ※ 編輯: znmkhxrw (42.72.12.234 臺灣), 10/25/2020 13:32:45
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