[其他] 將多面體的不等式改變方向，如何證明其會

看板Math作者 (jr80939393)時間3年前 (2020/10/13 13:39), 編輯推噓4(4推 0噓 31→)
留言35則, 6人參與, 3年前最新討論串1/1
如圖，X是一個多面體，我將他的限制式之不等式全部改變方向，要說他是空集合，要怎麼寫出比較完整的證明。 我用反証法或直接証法，中間都會有一些細節寫不清楚，所以上來問板上的高手，可以給我一點建議，謝謝大家。 https://i.imgur.com/jlDaafL.jpg
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推
10/13 15:28, 3年前 , 1F
三角形？
10/13 15:28, 1F
推
10/13 15:37, 3年前 , 2F
令 X 是由 Mx ≧ c 的 x 決定的多面體
10/13 15:37, 2F
→
10/13 15:41, 3年前 , 3F
假設有 y 使得 My < c，那麼對於任意的 n > 0
10/13 15:41, 3F
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10/13 15:42, 3年前 , 4F
皆有 M(x+n(x-y)) ≧ c，也就是 x+n(x-y) ∈ X
10/13 15:42, 4F
→
10/13 15:43, 3年前 , 5F
這與多面體是 bounded 矛盾
10/13 15:43, 5F
→
10/13 15:44, 3年前 , 6F
以上的不等式皆是 componentwise inequality
10/13 15:44, 6F
推
10/13 20:00, 3年前 , 7F
上面的證明用直覺化一點的方式說就是
10/13 20:00, 7F
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10/13 20:00, 3年前 , 8F
假如有這樣的 y 其與 x 都在多面體每個面的異面
10/13 20:00, 8F
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10/13 20:01, 3年前 , 9F
那從 y 出發往 x 走, 只要走過 x 之後
10/13 20:01, 9F
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10/13 20:01, 3年前 , 10F
就會一直在多面體裡, 這和多面體有限大矛盾
10/13 20:01, 10F
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10/13 22:48, 3年前 , 11F
謝謝樓上的高手們回答！
10/13 22:48, 11F
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10/14 08:16, 3年前 , 12F
想請問任意的n都符合是對的嗎?n取很小,靠近y就不對
10/14 08:16, 12F
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10/14 08:19, 3年前 , 13F
了吧?就算穿過去到x,如果n非常大,就會穿過多面體另
10/14 08:19, 13F
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10/14 08:20, 3年前 , 14F
外一面,為什麼還能保證大於等於c?
10/14 08:20, 14F
推
10/14 10:46, 3年前 , 15F
n > 0, 所以才說「走過 x 之後」
10/14 10:46, 15F
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10/14 10:46, 3年前 , 16F
n(x-y) 表示再走 "由 y 到 x 方向的 n 倍"
10/14 10:46, 16F
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10/14 10:48, 3年前 , 17F
那因為 x 和 y 在某個平面的異側, 走過 x 之後的點
10/14 10:48, 17F
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10/14 10:49, 3年前 , 18F
一定和 x 同側; 計算上來說就只是 n(Mx-My) 而已
10/14 10:49, 18F
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10/14 10:49, 3年前 , 19F
而正是因為對所有多面體的平面這件事都成立才有矛盾
10/14 10:49, 19F
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10/14 10:49, 3年前 , 20F
(即你所謂的"穿過多面體另外一面"
10/14 10:49, 20F
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10/14 10:50, 3年前 , 21F
這是"多面體有限大"的推論
10/14 10:50, 21F
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10/14 10:51, 3年前 , 22F
) 因此就能反證出 y 存在是錯的了
10/14 10:51, 22F
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10/14 12:09, 3年前 , 23F
從原po定義的X來看 應該是只討論"凸"多面體的情況
10/14 12:09, 23F
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10/14 12:09, 3年前 , 24F
此時所謂用幾何的直觀來證明應該如下
10/14 12:09, 24F
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10/14 12:09, 3年前 , 25F
固定多邊形內部一個點P 對空間中的任一通過P直線L
10/14 12:09, 25F
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10/14 12:10, 3年前 , 26F
L交此凸多面體是該線上的一個閉區間 所以多面體至少
10/14 12:10, 26F
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10/14 12:11, 3年前 , 27F
有兩面其外側交集在該線上是空集合 令H_i是多面體其
10/14 12:11, 27F
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10/14 12:11, 3年前 , 28F
中第i面的外側半空間 ∩H_i = (∩H_i)∩(∪L)
10/14 12:11, 28F
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10/14 12:11, 3年前 , 29F
= ∪(∩H_i∩L) = empty set
10/14 12:11, 29F
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10/14 12:16, 3年前 , 30F
而a大證明的幾何意義是指考慮這樣的x y存在 則考慮
10/14 12:16, 30F
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10/14 12:20, 3年前 , 31F
xy的直線L 因為x在∩(H_i)'∩L上 y在∩(H_i)∩L上
10/14 12:20, 31F
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10/14 12:22, 3年前 , 32F
又(H_i)'∩L和H_i∩L都是半直線 所以就一維的數線直
10/14 12:22, 32F
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10/14 12:23, 3年前 , 33F
觀上來看 我們應該要有∩(H_i)'∩L和∩H_i∩L都要半
10/14 12:23, 33F
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10/14 12:24, 3年前 , 34F
射線(不過這是我自己證明一開始意圖 不一定是a大的
10/14 12:24, 34F
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10/14 12:24, 3年前 , 35F
原意)
10/14 12:24, 35F
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