[代數] 這不等式有人證過了嗎

看板Math作者 (雷森)時間5年前 (2020/09/30 17:06), 5年前編輯推噓7(7推 0噓 28→)
留言35則, 9人參與, 5年前最新討論串1/1
強者我朋友 在處理賭博期望估計的時候發現的一個不等式 P1*a + P2*b >= a^P1 * b^P2 ...P1+P2=1; a>0,b>0 若P1=P2就會變成算幾不等式 賭博上還滿好用的 不知道有沒有人證過了? -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 1.168.112.84 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1601456809.A.C46.html ※ 編輯: Rasin (1.168.112.84 臺灣), 09/30/2020 17:07:50
推
09/30 17:19, 5年前 , 1F
令隨機變數 X 有 p1 機率為 a, p2 機率為 b
09/30 17:19, 1F
→
09/30 17:20, 5年前 , 2F
則原式可變形為 ln(E[X]) >= E[ln(X)]
09/30 17:20, 2F
→
09/30 17:22, 5年前 , 3F
查了一下好像可以用 Jensen's inequality 反著用
09/30 17:22, 3F
推
09/30 17:22, 5年前 , 4F
convex combination, Jensen's inequality
09/30 17:22, 4F
→
09/30 17:22, 5年前 , 5F
(還是直接用? 我有點不確定方向 @@)
09/30 17:22, 5F
→
09/30 17:24, 5年前 , 6F
對指數函數用Jensen不等式
09/30 17:24, 6F
→
09/30 17:33, 5年前 , 7F
原本是打算轉成夠多個實數相加 變成N項算幾不等
09/30 17:33, 7F
→
09/30 17:35, 5年前 , 8F
但是P是無理數循環小數稍微麻煩 所以問看看這種
09/30 17:35, 8F
→
09/30 17:36, 5年前 , 9F
東西可能有人證過或發現過了
09/30 17:36, 9F
推
09/30 18:27, 5年前 , 10F
這就是算幾不等式啊。
09/30 18:27, 10F
推
09/30 18:33, 5年前 , 11F
考慮k平均 f(k)=(P1*a^k+P2*b^k)^(1/k)
09/30 18:33, 11F
→
09/30 18:34, 5年前 , 12F
容易驗證 f(k) 遞增，而且 f(k)→a^P1*b^P2 as k→0
09/30 18:34, 12F
→
09/30 20:05, 5年前 , 13F
感謝線索 我再重整寫看看
09/30 20:05, 13F
推
10/01 01:58, 5年前 , 14F
這就是weighted am-gm inequality 維基上有介紹
10/01 01:58, 14F
→
10/01 10:28, 5年前 , 15F
設 f(x) = xa + (1-x)b - a^x b^(1-x) on (0,1)
10/01 10:28, 15F
→
10/01 10:29, 5年前 , 16F
當 x 為有理數時 f(x) >= 0, 且 f 顯然連續
10/01 10:29, 16F
→
10/01 10:29, 5年前 , 17F
因此對所有 x in (0, 1), 皆有 f(x) >= 0
10/01 10:29, 17F
推
10/01 16:37, 5年前 , 18F
Young's inequality?
10/01 16:37, 18F
→
10/01 19:10, 5年前 , 19F
楊應該是最直接的
10/01 19:10, 19F
→
10/01 19:12, 5年前 , 20F
賭博上會跟均值不等扯上邊還滿有意思的
10/01 19:12, 20F
→
10/01 19:13, 5年前 , 21F
還有一個有點意思 賭局水位就是調和均值
10/01 19:13, 21F
→
10/01 19:15, 5年前 , 22F
無聊有興趣可以打發一下時間
10/01 19:15, 22F
推
10/01 19:53, 5年前 , 23F
雙人是，三人賭博也是嗎？
10/01 19:53, 23F
→
10/01 20:10, 5年前 , 24F
原題嗎還是水位問題
10/01 20:10, 24F
→
10/01 20:12, 5年前 , 25F
原題對Pi都成立 水位調和中項會是所有可能的支付率
10/01 20:12, 25F
→
10/01 20:13, 5年前 , 26F
總和 /n就是各別平均支付率
10/01 20:13, 26F
→
10/01 20:16, 5年前 , 27F
10/01 20:16, 27F
→
10/01 20:17, 5年前 , 28F
調和平均=14/(1/4.25+1/7+...+1/7)=7.716
10/01 20:17, 28F
→
10/01 20:19, 5年前 , 29F
支付率=0.55, 返還(投報)率=支付率-1=-0.45
10/01 20:19, 29F
→
10/01 20:21, 5年前 , 30F
支付率=機率*賠率=期望值每單位資金
10/01 20:21, 30F
→
10/01 20:21, 5年前 , 31F
單位資金期望值
10/01 20:21, 31F
→
10/03 14:51, 5年前 , 32F
快點丟到arxiv插旗
10/03 14:51, 32F
→
10/03 22:06, 5年前 , 33F
楊都已經證明出來了沒什麼好投的
10/03 22:06, 33F
→
10/03 22:16, 5年前 , 34F
有興趣的大大可以試試證明套到五大均值不等
10/03 22:16, 34F
→
10/03 22:20, 5年前 , 35F
有興趣可以拿來改寫半凱利投個小期刊
10/03 22:20, 35F
‣ 更多 Rasin 的文章
文章代碼(AID): #1VT4gfn6 (Math)