[其他] 有隨機效應的方程式性質分析

看板Math作者 (SaltLake)時間3年前 (2020/09/28 21:59), 編輯推噓1(1推 0噓 28→)
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對於線性或非線性方程式，我們常做的分析就是探討其 解的唯一性與存在性。進一步的分析就是看各方程式的 一些特殊性質，比方說橢圓偏微方程式的及大直定裡甚 麼的。 可是如果方程式有隨機的性質呢? 例如: y = A*x+e e 是常態分佈的隨機變數 這時候上面的線性方程組還有所謂的解的存在性和唯一性嗎? -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.24.86.148 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1601301596.A.B51.html
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Parameter estimation?
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等動到A再來談。不過真的動到A的時候，存在和唯一都
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是有機率正確和有機率錯誤，重點還是機率分佈吧。
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要分析什麼呢? y = Ax + e, e 是隨機的, 已知的是什
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麼? 未知的是什麼?
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統計中有一重要而簡單的模型就是 y = Xb + e, e隨機
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y, X 已知, e 不可觀測, b 是待估計的未知參數.
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這模型最簡單的情形有一簡單的解: 最小平方解.
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當 e 的成分是 i.i.d. 時, b 的最小平方解是
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b^ = (X'X)^(-)X'y, X' 是 X 的轉置, (X'X)^(-1) 是
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X'X 的 generalized inverse. 由於 X'X 不一定可逆,
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b 的估計不唯一, 但 X(X'X)^(-)X'y 即 Xb^ 是唯一的
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但在 e 的成分不是 i.i.d., Cov(e) = Σ, 有許多問
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題, 一是 Σ 的結構不知時的問題 (Σ=σ^2Ω,其中Ω
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已知時, 最小平方估計稍做變化即可, 重點是 Ω不知
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或不全知). 另一問題是 Σ singular 的情形, 單單一
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個最小平方準則並不夠. 關於這些問題, 可參考
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Linear Model 的專書及論文.
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如果你要"等式"成立的話 y,A,x至少要有一個升格為隨
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機變數 剩下沒有升格為隨機變數的就變成類似參數的
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存在
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不太確定是不是原po想要的 但討論一堆隨機變數的相
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依性 可能可以參考一下regression analysis
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而如果是方程式中含有隨機變數的話 除非這些隨機變
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數的相依使得他們相消 否則你的未知數會自動升格成
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隨機變數 這時你的問題不應該只是解存不存在 而應
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該同時考慮解的pdf是啥 如何分析解的PDF等
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推
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我看過的三種：線性回歸的一元方程，統計課本有
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2.隨機微積分3.隨機矩陣 這兩個滿難的我都看不太會
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