[中學] 可能與數論或多項式有關的習題

看板Math作者 (小豪)時間3年前 (2020/09/25 00:12), 編輯推噓9(9推 0噓 15→)
留言24則, 2人參與, 3年前最新討論串1/1
https://imgur.com/a/kxXbs0C 如上圖， 將其想成 2^2 + 2^(t+2) + 2^(2t) = ( 2 + 2^t )^2 ，其中 t 為正整數 不難看出 n 有兩解 7,16 (或用其它方法也可看出) 另外，不難看出 7 是 n 的最小值，問題是：「能證明 16 是 n 的最大值嗎？」 (這題有簡答 23) 從簡答來看，請問如何證明 16 是 n 的最大值？ -- -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 112.104.11.89 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1600963968.A.DD6.html
推
09/25 02:34, 3年前 , 1F
可以簡單證得大於 16 的偶數都不是解
09/25 02:34, 1F
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09/25 02:35, 3年前 , 2F
2^(2k) + 1028 < (2^k + 2)^2 化簡得 2^k > 256
09/25 02:35, 2F
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09/25 02:36, 3年前 , 3F
所以 k > 8 (即偶數 n > 16) 不是解
09/25 02:36, 3F
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09/25 02:36, 3年前 , 4F
奇數我就不確定要怎麼做了...
09/25 02:36, 4F
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09/25 08:34, 3年前 , 5F
7和16似乎就是唯二的解(至少在n從1到一百萬是如此)
09/25 08:34, 5F
推
09/26 12:24, 3年前 , 6F
不妨就假設n=m+2>10 則原問題就變成問2^m+2^8+1何時
09/26 12:24, 6F
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09/26 12:26, 3年前 , 7F
是完全平方數 就考慮是完全平方數的情況 則我們可以
09/26 12:26, 7F
推
09/26 12:30, 3年前 , 8F
令2^m+2^8+1=(k*2^8+h)^2 其中k為非負整數 而h是介
09/26 12:30, 8F
推
09/26 12:32, 3年前 , 9F
於0到255之間的整數 因為此數除以8餘1 則h只能是1,
09/26 12:32, 9F
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09/26 12:33, 3年前 , 10F
129,127,255這四種可能
09/26 12:33, 10F
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09/26 12:36, 3年前 , 11F
typo: 此數除以2^8餘1才對
09/26 12:36, 11F
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09/26 12:37, 3年前 , 12F
Case 1. 若h=1 則2^m+2^8+1=(k^2)*2^16 + k*2^9 + 1
09/26 12:37, 12F
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09/26 12:38, 3年前 , 13F
由二進制的唯一性 我們得到矛盾
09/26 12:38, 13F
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09/26 12:41, 3年前 , 14F
Case 2. 若h=129 則2^m+2^8+1=
09/26 12:41, 14F
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09/26 12:43, 3年前 , 15F
(2^9)*k*[k*2^7+2^7+1] + 2^14 + 2^8+1 其中包含k的
09/26 12:43, 15F
推
09/26 12:47, 3年前 , 16F
那串因二進制的唯一性只能為0 此時得m=14
09/26 12:47, 16F
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09/26 12:48, 3年前 , 17F
Case 2. 若h=127 則2^m+2^8+1=
09/26 12:48, 17F
推
09/26 12:56, 3年前 , 18F
[(2^7*k + 2^7 - 1)*k + 31]*(2^9)+ 2^8 + 1
09/26 12:56, 18F
推
09/26 13:06, 3年前 , 19F
先停一下 XD
09/26 13:06, 19F
推
09/26 13:15, 3年前 , 20F
這個case突然卡住了 先做另一個case XD
09/26 13:15, 20F
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09/26 13:16, 3年前 , 21F
Case 3. 若h=255 則2^m+2^8+1=
09/26 13:16, 21F
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09/26 13:17, 3年前 , 22F
(2^9)*[(2^7)*k^2+255k+255] + 1 則由二進制的唯一
09/26 13:17, 22F
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09/26 13:18, 3年前 , 23F
性 這個case也是矛盾
09/26 13:18, 23F
推
09/26 13:38, 3年前 , 24F
Case 2好像也有點卡卡的 冏
09/26 13:38, 24F
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