[代數] 請問有理數，化成循環小數

看板Math作者 (uygh)時間3年前 (2020/09/15 11:48), 編輯推噓4(4推 0噓 27→)
留言31則, 4人參與, 3年前最新討論串1/1
[代數] 請問有理數，化成循環小數，共有幾個循環節？有判別方法？ 如1/17，謝謝！ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 110.28.10.47 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1600141700.A.27E.html
推
09/15 12:28, 3年前 , 1F
循環節不會超過16，也就是n-1
09/15 12:28, 1F
→
09/15 13:00, 3年前 , 2F
可否告知為什麼是16？要怎麼判別，謝謝
09/15 13:00, 2F
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09/15 13:12, 3年前 , 3F
假設m/n無法除盡 則n不是2^s5^t的樣子 並得
09/15 13:12, 3F
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09/15 13:15, 3年前 , 4F
m*10^0, m*10^1,...,m*10^n除n的餘數必須為1,2,...,
09/15 13:15, 4F
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09/15 13:16, 3年前 , 5F
n-1 (前面打錯 是m*10^0, m*10^1,...,m*10^{n-1}共
09/15 13:16, 5F
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09/15 13:17, 3年前 , 6F
n個) 則由鴿籠原理 必有兩個餘數相同 所以循環了
09/15 13:17, 6F
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09/15 14:02, 3年前 , 7F
"則n不是2^s5^t的樣子">>>這句話是多的 冏
09/15 14:02, 7F
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09/16 16:38, 3年前 , 8F
請問有直接判別，幾個循環節的方法？不用證明
09/16 16:38, 8F
推
09/16 18:04, 3年前 , 9F
所求為 10 對餘 n 的 multiplicative order
09/16 18:04, 9F
→
09/16 18:04, 3年前 , 10F
*同餘 n
09/16 18:04, 10F
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09/16 18:05, 3年前 , 11F
意思是 10^m ≡ 1 (mod n) 的最小整數 m
09/16 18:05, 11F
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09/16 18:06, 3年前 , 12F
對所有 n 能一致成立的已知事項只有一樓所言
09/16 18:06, 12F
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09/16 18:07, 3年前 , 13F
它不會超過 n-1, 以及它是 phi(n) (歐拉 phi 函數)
09/16 18:07, 13F
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09/16 18:07, 3年前 , 14F
的因數
09/16 18:07, 14F
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09/16 23:40, 3年前 , 15F
"請問有直接判別...">>>r大是要問演算法嗎 證明可以
09/16 23:40, 15F
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09/16 23:40, 3年前 , 16F
直接當演算法 還是r大是要用什麼具體的性質
09/16 23:40, 16F
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09/16 23:51, 3年前 , 17F
如L大所述(不過我還是用我上面的符號) 這已經牽扯
09/16 23:51, 17F
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09/16 23:51, 3年前 , 18F
到(Z/nZ)*的結構問題 所以r大給個具體想要的條件 才
09/16 23:51, 18F
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09/16 23:51, 3年前 , 19F
能判斷能不能做到
09/16 23:51, 19F
推
09/17 00:44, 3年前 , 20F
前述演算法的具體作法: 假設gcd (m,n)=1且m/n無法
09/17 00:44, 20F
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09/17 00:44, 3年前 , 21F
除盡 去算最小的s<t 滿足10^s≡ 10^t (mod n) 則循
09/17 00:44, 21F
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09/17 00:44, 3年前 , 22F
環節為t-s
09/17 00:44, 22F
推
09/17 01:42, 3年前 , 23F
噢對, 我的說法其實少一個條件: 要有 gcd(10,n)=1
09/17 01:42, 23F
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09/17 01:43, 3年前 , 24F
才能用 10^p≡1 的條件去判斷, 一般仍要用上式
09/17 01:43, 24F
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09/17 01:43, 3年前 , 25F
10^s≡10^t 才行, 而這是因為當 n 和 10 不互質時
09/17 01:43, 25F
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09/17 01:44, 3年前 , 26F
在循環節前會有不屬於循環的位數
09/17 01:44, 26F
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09/17 01:46, 3年前 , 27F
例如 n=12 (1/12 = 0.1666...), 會求得 10^2≡10^3
09/17 01:46, 27F
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09/17 10:14, 3年前 , 28F
或直接沿L大的思路走 一樣假設gcd (m,n)=1且m/n無法
09/17 10:14, 28F
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09/17 10:16, 3年前 , 29F
除盡 並令n=2^s*5^t*p1^k1*...*ph^kh 則去找最小的
09/17 10:16, 29F
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09/17 10:19, 3年前 , 30F
正整數c 滿足10^c≡1 (mod p1^k1*...*ph^kh)
09/17 10:19, 30F
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09/17 10:45, 3年前 , 31F
其中c從φ(p1^k1*...*ph^kh)或φ(n)的因子去試即可
09/17 10:45, 31F
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