想請教這個矩陣如何驗證他不是PSD

看板Math作者 (jr80939393)時間3年前 (2020/09/08 23:21), 編輯推噓3(3推 0噓 53→)
留言56則, 4人參與, 3年前最新討論串1/1
想請教圖中紅色標記的這個矩陣，當X不等於Y時這個矩陣不是PSD，我想寫出一個完整的證明可是想不太出來，想請教板上的高手，給我一個大概的方向，感謝！ 另外我第二張圖舉得這個例子不知道有沒有違反他內文的意思，所以我有點困惑這個敘述是對還是錯的。 https://i.imgur.com/bEmvECf.jpg
https://i.imgur.com/T8TX92S.jpg
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推
09/09 00:33, 3年前 , 1F
S^n是對稱n階方陣空間嗎？
09/09 00:33, 1F
推
09/09 00:38, 3年前 , 2F
大概還是要挑適當的X和Y才行，書上敘述看起來怪怪
09/09 00:38, 2F
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09/09 00:38, 3年前 , 3F
。
09/09 00:38, 3F
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09/09 01:03, 3年前 , 4F
是的，好的謝謝回覆！
09/09 01:03, 4F
推
09/09 01:28, 3年前 , 5F
K-convex應該是說f。像這裡的f大概是[0 1; 1 0]這種
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09/09 01:29, 3年前 , 6F
形式。只要所有的f(X,Y)都convex(PSD)就稱f為K-conv
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09/09 01:31, 3年前 , 7F
所以要舉反例就是找到不對勁的X,Y。以這例子來說，
09/09 01:31, 7F
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09/09 01:35, 3年前 , 8F
選Y=-X在大多數時候應該都可以成功推翻。
09/09 01:35, 8F
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09/09 01:36, 3年前 , 9F
不過這個K-convex怎麼和我看過的K-convex不太一樣？
09/09 01:36, 9F
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09/09 10:16, 3年前 , 10F
Y = kX ==> XY^T+YX^T = 2kXX^T 顯然是 PSD, 所以
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09/09 10:17, 3年前 , 11F
"X≠Y" 或許要改成 "不存在 k 使 Y=kX 或 X=kY".
09/09 10:17, 11F
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09/09 10:18, 3年前 , 12F
XY^T+YX^T = (X+Y)(X+Y)^T-XX^T-YY^T, 想證明 X,Y
09/09 10:18, 12F
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09/09 10:20, 3年前 , 13F
不成比例時 XY^T+YX^T 不是 psd, 大概要從右邊著手?
09/09 10:20, 13F
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09/09 10:24, 3年前 , 14F
這相當於要證明兩向量 a, b, |a+b|^2 和|a|^2+|b|^2
09/09 10:24, 14F
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09/09 10:26, 3年前 , 15F
相比不一定較大或相等. 也相當於三角形一邊長之平方
09/09 10:26, 15F
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09/09 10:27, 3年前 , 16F
可以大於、等於、或小於另兩邊平方和.
09/09 10:27, 16F
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09/09 12:59, 3年前 , 17F
??? 2kXX^T不一定是PSD 依k而定 冏
09/09 12:59, 17F
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09/09 12:59, 3年前 , 18F
09/09 12:59, 18F
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09/09 13:00, 3年前 , 19F
如上圖 隨便選a1,...,ak,b1,..,bk 則你想要f(X,Y)是
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09/09 13:02, 3年前 , 20F
什麼就是什麼 (除了n>m時 f(X,Y)不可能是正定或負定
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09/09 13:03, 3年前 , 21F
) 例如選1,2,...,k和k,k-1,...,1 則X,Y不成比例 但
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09/09 13:04, 3年前 , 22F
f(X,Y)依舊是半正定
09/09 13:04, 22F
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09/09 17:21, 3年前 , 23F
謝謝大家的詢問，我也去詢問過老師了，老師說這部分
09/09 17:21, 23F
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09/09 17:21, 3年前 , 24F
應該改成存在(X,Y)使之不是convex，不過我還想詢問
09/09 17:21, 24F
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09/09 17:21, 3年前 , 25F
一下這(X,Y)要有什麼限制才能使他是not PSD。
09/09 17:21, 25F
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09/09 17:21, 3年前 , 26F
是謝謝大家的回覆！！（打錯字）
09/09 17:21, 26F
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09/09 20:05, 3年前 , 27F
要建構 X, Y 使 XY^T+YX^T 是 p.s.d., 是 n.s.d./,
09/09 20:05, 27F
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09/09 20:07, 3年前 , 28F
既非 p.s.d. 也非 n.s.d. 似乎都不難, 但要找出非
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09/09 20:09, 3年前 , 29F
p.s.d. 的(充要)條件似乎不容易.
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09/09 20:11, 3年前 , 30F
假設 Y=XA (或 X=YA), 則 XY^T+YX^T = X(A+A^T)X^T.
09/09 20:11, 30F
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09/09 20:12, 3年前 , 31F
取任意 p.s.d. A, 則結果是 p.s.d., 取 n.s.d. A,
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09/09 20:14, 3年前 , 32F
結果就是 n.s.d.. 取 A 既非 p.s.d. 也非 n.s.d.,
09/09 20:14, 32F
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09/09 20:15, 3年前 , 33F
則結果既非 p.s.d. 也非 n.s.d..
09/09 20:15, 33F
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09/09 21:59, 3年前 , 34F
和y大觀點差不多 你可能找到比較簡單的條件P(*,*)或
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09/09 22:00, 3年前 , 35F
Q(*,*)滿足 P(X,Y)→f(X,Y) is PSD 或者
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09/09 22:02, 3年前 , 36F
Q(X,Y)→f(X,Y) is not PSD 但我覺得不太可能找到
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09/09 22:03, 3年前 , 37F
簡單的充要條件 或 容易計算的方法去判別f(X,Y)是否
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09/09 22:05, 3年前 , 38F
為PSD 我的理由如下(非嚴謹推理 故仍其他可能)
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09/09 22:08, 3年前 , 39F
令k=min(m,n) 則可以將問題拆成兩部份
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09/09 22:11, 3年前 , 40F
第一部份 對任意k*k矩陣M 是否有簡單方法判別M+M^T
09/09 22:11, 40F
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09/09 22:13, 3年前 , 41F
是否為PSD 在這一部份中 最簡單的情況就是M是對稱矩
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09/09 22:16, 3年前 , 42F
陣 可是就目前所知判別對稱矩陣M是否為PSD較快的方
09/09 22:16, 42F
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09/09 22:18, 3年前 , 43F
法應該是高斯消去法(Cholesky decomposition)
09/09 22:18, 43F
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09/09 22:21, 3年前 , 44F
目前似乎沒有更簡單的方法 所以如果對一般k by k矩
09/09 22:21, 44F
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09/09 22:24, 3年前 , 45F
陣M 我們有簡單的判別"M+M^T is PSD"方法的話 那對
09/09 22:24, 45F
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09/09 22:26, 3年前 , 46F
特殊情況"M is symmetric"自然也該有簡單的方法判別
09/09 22:26, 46F
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09/09 22:26, 3年前 , 47F
才對
09/09 22:26, 47F
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09/09 22:29, 3年前 , 48F
所以對第一部份的敘述 我感覺比較偏向否定
09/09 22:29, 48F
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09/09 22:32, 3年前 , 49F
第二部份就是 是否有簡單的方法判別f(X,Y)是否為PSD
09/09 22:32, 49F
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09/09 22:33, 3年前 , 50F
假設有的話 因為對任意k*k的矩陣M 我們總是可以找到
09/09 22:33, 50F
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09/09 22:34, 3年前 , 51F
X,Y使得XY^T的左上k*k子矩陣為M 其他部份為0 所以問
09/09 22:34, 51F
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09/09 22:37, 3年前 , 52F
題就回到判別M+M^T是否為PSD 也就導致第一部份的敘
09/09 22:37, 52F
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09/09 22:38, 3年前 , 53F
述應該要是肯定的 所以有點矛盾
09/09 22:38, 53F
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09/09 22:40, 3年前 , 54F
所以對於第二部份 我自然而然也是感覺偏向否定
09/09 22:40, 54F
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09/09 22:43, 3年前 , 55F
稍稍overload 表達有點混亂 不好意思
09/09 22:43, 55F
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09/09 23:15, 3年前 , 56F
謝謝兩位高手的用心回覆，受益良多！
09/09 23:15, 56F
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