Re: [其他] TC題 (4) 多項式/三角
※ 引述《TimcApple (肥鵝)》之銘言：
: Problem 4
: 已知 f(x) 為實係數多項式
: 對任意實數θ，代 x = cosθ 會得到 f(sinθ)
: 下列何者正確？（複選）
: (1) f(3) 不存在
: (2) f(x) 可能是 6 次式
: (3) 代 x = i 會得到 f(-i)
: (4) 若代 x = 1/4 會得到 -f(-1/4)，則 f(x) = 0
: (5) f'(1/√2) <= f'(0)
: (圖片和以上敘述相同)
: https://i.imgur.com/RDMEfoZ.jpg
本題的關鍵是盡可能找出 f(x) 應有的性質
可以直接刻畫 f(x) 那再好不過了
==============================================================
(Lem) 兩多項式 f(x), g(x)，若有無限多個 a 滿足 f(a) = g(a)
則對所有實數 x 確實有 f(x) = g(x)
(pf) h(x) = f(x) - g(x) 是多項式
有無限多個根 a，因此 h(x) 只能是 0
==============================================================
Solution to Problem 4
(Step 1) 尋找 f(x) 的性質
首先，由於 f(-sinθ) = cos(-θ) = cosθ = f(sinθ)
有無限多個 a 滿足 f(-a) = f(a)
因此 f 必為偶函數，存在多項式 g 使得 f(x) = g(x^2)
接著，由 f(cosθ) = f(sinθ) 可得 g(cos^2 θ) = g(1 - cos^2 θ)
因此有無限多個 y 滿足 g(y) = g(1-y)
對稱軸是 y = 1/2，設多項式 h 是 g 的平移，即 h(z) = g(z+1/2)
可得 h(-z) = g(-z+1/2) = g(1-(-z+1/2)) = g(z+1/2) = h(z)
因此 h 是偶函數，存在多項式 k 使得 h(z) = k(z^2)
整理可得 f(x) = g(x^2) = h(x^2-1/2) = k((x^2-1/2)^2)
所以 f 其實是 w = (x^2-1/2)^2 的多項式
很容易確認所有 w 的多項式，代 cosθ 和 sinθ 會一樣
因此這就是 f 的刻畫了
(Step 2) 確認選項
(1) 錯誤
f(x) 是多項式，定義域為全實數
且至少存在一解 (ex: f(x) = 0)，因此 f(3) 必然會有
(2) 錯誤
f 是 w 的多項式，但 w 是 4 次式，
因此非零 f 的次數只能是 4 的倍數
(3) 正確
可由 w(i) = w(-i) 得知。實際上偶函數就夠了。
(4) 錯誤
f(x) 看起來要是奇函數，但未必如此
反例是 f(-1/4) = f(1/4) = 0，例如 f = w - w(1/4)
(5) 正確
1/√2 是 w 的重根，因此微分後 f'(1/√2) 必為 0
由於 f 是偶函數，f'(0) = 0，因此兩者相等
因此答案為 (3)(5) ow o
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 49.216.48.74 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1589728369.A.6E1.html
推
05/18 09:14,
4年前
, 1F
05/18 09:14, 1F
討論串 (同標題文章)
本文引述了以下文章的的內容：
完整討論串 (本文為第 2 之 2 篇)：