Re: [機統] Bonferroni不等式 證明
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連結裡兩個問題是 P{∪A_i} ≦ Σ P{A_i} 的推廣.
(a) P{∪A_i} ≧ Σ P{A_i} - Σ P{A_i∩A_j}
(b) P{∪A_i} ≦ Σ P{A_i} - Σ P{A_i∩A_j} + Σ P{A_i∩A_j∩A_k}
它們和 "取捨原理" 有關. 取捨原理是:
P{∪A_i} = Σ P{A_i} - Σ P{A_i∩A_j} + Σ P{A_i∩A_j∩A_k}
-+.....+(-1)^{n-1} P{∩A_i}
以上等式不等式其中註標都是 1～n.
要證明上列各不等式, 數學歸納法最方便.
(a) 從 n=2 也就是兩個事件開始.
(b) 涉及三事件交集, 所以要從3個事件開始.
n = 2 時, P{A_1∪A_2} = (P{A_1}+P{A_2}) - P{A_1∩A_2}
故 (a) 之不等式(因含等號)成立.
假設 n=k 時 (a) 成立. 則 n = k+1 時
P{∪A_i} = P{∪{i=1~k}A_i} + P{A_{k+1}}
- P{∪{i=1~k}(A_i∩A_{k+1})}
≧ (Σ{i=1~k} P{A_i} - Σ{i,j=1~k,i<j} P{A_i∩A_j})
+ P{A_{k+1}} - P{∪{i=1~k}(A_i∩A_{k+1})}
= ( Σ{i=1~k} P{A_i} + P{A_{k+1}} )
- ( Σ{i,j=1~k,i<j} P{A_i∩A_j}
+ P{∪{i=1~k}(A_i∩A_{k+1})} )
= Σ{i=1~n} P{A_i} - Σ{i,j=1~n,i<j} P{A_i∩A_j}
也就是 n = k+1 時, (a) 也成立.
所以, 依數學歸納法原理, 對任意大於 1 的正整數 n,
都成立: P{∪A_i} ≧ Σ P{A_i} - Σ P{A_i∩A_j}.
(b) 之證法類似, 但從 n=3 開始.
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推
03/13 19:57,
5年前
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03/13 19:57, 1F
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