Re: [分析] 均勻收斂和有界之間的關係

看板Math作者chemmachine (chemmachine)時間5年前 (2020/03/09 22:57)推噓1(1推 0噓 12→)

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※ 引述《sogood6108 (duck)》之銘言： : 剛在做題遇到一些困難有點混淆 : 已知Fn收斂到f Gn收斂到g 都是均勻收斂 : 1.g會有界嗎? let f_n(x)=1/n x屬於(0，1) g_n(x)=1/x x屬於(0，1) f_n(x)均勻收斂至f(x)=0 x屬於(0，1) g_n(x)=1/x x屬於(0，1) 故f和g不一定有界因為題目要我證明FnGn收斂到fg pointwise 因fn一致收斂到f gn一致收斂到g 故fn逐點收斂到f gn逐點收斂到g 因逐點收斂滿足乘法律故 fn*gn逐點收斂到fg 證明仿照limf(x)->L limg(x)->M 則 limf(x)*g(x)->L*M(初微課本有) 一致收斂不滿足乘法律，因由第一行之反例f_n(1/n)*g_n(1/n)=1/n*n=1不等於 f(x)*g(x)=0 另一則反例在apostol exercise 9.1 9.2 9.3 有，你可以上網找一下 : 但我卡在不確定g會不會有界如果有界我就可以證出來不一定有界 : 函數列我不太知道要怎麼判斷她不像一般的數列那麼簡單 : 一般的數列收斂到一個數字那個數字就是有界 : 但函數列收斂到一個函數我就不敢直接說有界了.. 函數數列逐點去看，是實數數列。比較難的是一致收斂 : 2.已知道Fn均勻收斂到F : 那F有界跟Fn有界彼此會有關係嗎? fn一致收斂至f 則對任意epsilon>0 存在N>0 SUCH THAT|FN-F|<epsilon : 假設只給Fn均勻收斂到F 我可以說Fn或是F有界嗎? fn和f有不有界會互相影響。因 |fn-f|<e 由三角不等式知 |fn|<|f|+e 及|f|<|fn|+e 故若f有界則對足夠大之n則 fn有界 fn有界對足夠大之n則 f有界 : 3.在pointwise收斂跟uniformly收斂兩種情況下 : Fn 跟 f 有沒有界會因此影響嗎? : 函數列的章節比較抽象問題有點多 QQ 謝謝一樣用到|fn|<|f|+e 及|f|<|fn|+e 差別是一個是逐點，一個是整個範圍去看所以會互相影響有錯請指正 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.33.34.117 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1583765831.A.9F0.html

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03/09 23:04, 5年前 , 1^F

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