[分析][機統] 隨機過程與期望值

看板Math作者znmkhxrw (QQ)時間4年前 (2020/02/06 03:23)推噓0(0推 0噓 35→)

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給一個離散實訊號x_n (就是x:Z(整數)→R(實數)) 在訊號處理的paper裡很常看到 E{x_n} 1 m 一直以來我都把他定義成 E{x_n}:= lim ──── * Σ x_k m→∞ 2m+1 k=-m 但是今天看到隨機過程後, 其實對E{x_n}已有定義, 貌似上述等式只是特例而已詳細問題如下: ====================================================================== 令 (Ω, Ｆ, P) 為機率空間 {x_n(w): n€Z(整數)} 為隨機過程即對於每個n, x_n: Ω→R 是一個隨機變數對於每個w, x_.(w): Z →R 是一個realization 接著因為期望值是定義在隨機變數, 所以對於每個n我們有 E{x_n}:= ∫ x_n(w)dP(w) Ω 從這邊就可以先觀察到最一開始說的實訊號x_n只是固定某個event w所取出的x_n(w) 接著wiki說stationary random process是指隨機變數的distribution是time-invariant ( https://en.wikipedia.org/wiki/Stochastic_process#Stochastic_process ) 因此如果 {x_n(w): n€Z(整數)} is stationary 則 E{x_n} = E{x_m} for any n,m€Z (*) 接著問題來了, 下面這個連結說如果隨機過程是stationary的, 那麼對w做期望值(平均) 1 m 就等於對n做期望值(平均), 也呼應他寫的 E{x_n}= lim ──── * Σ x_k ---(**) m→∞ 2m+1 k=-m ( https://www.dsprelated.com/freebooks/sasp/Expected_Value.html ) 果然我最一開始定義的期望值只是特例, 那只是在一個更廣的定義下所推導出來的結果但是問題來了！我證不出來, 問題如下: (**)的左式只剩n的變數, 而且(*)又說跟n無關, 所以(**)左邊只是一個常數但(**)的右邊其實是w的變數, 代表所有w代進去都是一樣的值!? 這個猜測可能是對的, 因為文章裡面有寫"compute expected values by averaging over time within a single realization of the random process" 因此, 一切要合理的話, 下面定理要成立： <Theorem> if {x_n(w): n€Z(整數)} is stationary 1 m then E{x_n} = lim ──── * Σ x_k(w) ≡ constant, for all n,w m→∞ 2m+1 k=-m 這不可能吧.... 我嘗試一會兒發覺左右根本兩回事, stationary是講time-invariant 既然跟time沒有關係, 那對n做平均(E{x_n})根本多此一舉阿... 而且定理右式怎麼可能任選w都是一樣的, 這樣不就是event-invariant.... 請問問題點到底在哪... 謝謝幫忙！ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 59.102.235.174 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1580930595.A.79D.html ※ 編輯: znmkhxrw (59.102.235.174 臺灣), 02/06/2020 03:23:55

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