Re: [代數]問一題四元方程式的題目
※ 引述《toba (永遠的快樂)》之銘言：
: a+b+c+d=72
: a^2+b^2+c^2+d^2=1392
: a、b、c、d皆為正整數
: 不知該用何方法解？
1392 太大不好討論。
考慮 x=a-18, y=b-18, z=c-18, w=d-18，
則 x+y+z+w=0, x^2+y^2+z^2+w^2=1392-36*72+4*18^2=96。
W.L.O.G. 假設 x^2,y^2,z^2,w^2 遞增，則 w^2 至少是 24。
也就是說 w^2 可能是 25,36,49,64,81。
當 w^2=81，x^2+y^2+z^2=15，無解。
當 w^2=64，x^2+y^2+z^2=32，x=0,y^2=z^2=16 是唯一一組解。
當 w^2=49，x^2+y^2+z^2=47，無解。
當 w^2=36，x^2+y^2+z^2=60，無解。
當 w^2=25，x^2+y^2+z^2=71，無解。
又 x+y+z+w=0，所以 (x,y,z,w)=(0,4,4,-8)或(0,-4,-4,8) 是唯二解。
即 (a,b,c,d)=(18,22,22,10)或(18,14,14,26)，
再調換順序可得 24 組解。
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